「バナッハ・タルスキーのパラドックス」(基本形)

定理 8.1   $\bigl($The Banach-Tarski Paradox $\bigr)$
$B^{3}$を $\hbox{\ym R}^{3}$内の半径$r$の球体とする. すなわち, $B^{3} =\bigl\{x \in \hbox{\ym R}^{3} \ \big\vert\ \Vert x\Vert\leq r \ \bigr\}$ .
このとき, $B^{3}$は$M_3$-逆説的である. ここで, $M_3$は, $3$次元のユークリッド
運動群を表す.

証明
    $B^{3}$から中心を除いたもの $B^{3} \setminus \{0\}$を考える. はじめに, $B^{3}\sim B^{3} \setminus \{0\}$を
    示す. 球体$B^{3}$の中心を$0$とし, $0$を含み, $B^{3}$に 含まれるような円$C$をと
    る. $C' = C \setminus \{0\}$とおくと, $C' \subseteq B^{3} \setminus \{0\}$である.
        定理3.2より $C\sim _{M_3}C'$なので,

$B^{3} \setminus \{0\}=B^{3}\setminus \bigl(\{0\}\cup C'\ \bigr) \cup C'\sim \bigl(B^{3} \setminus C \bigr) \cup C =B^{3}$

    よって, $B^{3} \setminus \{0\}\sim _{M_{3}}B^{3}$ と なる.
        次に, $B^{3} \setminus \{0\}$が$SO_{3}$-逆説的で あることを示す.
    $S^{2}$が$SO_{3}$-逆説的であることから, $S^{2}=\bigl\{x \in R^{3}\ \big\vert\ \Vert x\Vert=r\ \bigr\}$ の分割

$$S^{2} = A_{1}\sqcup \cdots \sqcup A_{m}\sqcup B_{1} \sqcup \cdots \sqcup B_{n}$$

    と $g_{1\ }, \cdots ,g_{m\ },h_{1\ }, \cdots ,h_{n}\in SO_{3}$ で,

$$S^{2} = \bigsqcup g_{i} (A_{i}) = \bigsqcup h_{j} B_{j}$$

    となるものが存在する.
        $S^{2}$の 部分集合$A_{i\ },B_{j}$より, $B^{3} \setminus \{0\}$ の部分集合を

$$A_{i}'=\bigl\{tx\ \big\vert\ x\in A_{i\ },\ t\in (0,\ 1] \ \bigr\} \qquad \cdots (1)$$

$$B_{j}'=\bigl\{tx\ \big\vert\ x\in B_{j\ },\ t\in (0,\ 1]\ \bigr\} \qquad \cdots (2)$$

    で定める。     $S^{2}$の部分集合$C$に対して

$$C' =\bigl\{tx\ \big\vert\ x\in C\ ,\ t\in (0,\ 1] \ \bigr\}$$

    とおくと,

$\bigl(gC \bigr)' = g(C')\ ,\ \ g\in SO_{3}$

    となるので, $B^{3}\setminus \{0\} = A_{1}'\sqcup \cdots \sqcup A_{m}'\sqcup B_{1}'\sqcup \cdots \sqcup B_{n}'$という分割に対し
    て $B^{3}\setminus \{0\} = \sqcup g_{i}A_{i}' = \sqcup h_{j}B_{j}'$が成り立ち $B^{3} \setminus \{0\}$は$SO_{3}$-逆説的である.
    $SO_{3}$は, $3$次元の回転群 であり, $M_3$は, $3$次元の回転と平行移動の 組み合
    わせで得られる合同変換のうちで, 折り返しを含まないもの全体の 作る群
    $($ユークリッド運動群$)$なので, $SO_{3}$-逆説的であるならば, $M_3$-逆説的で
    ある.
        よって, $B^{3} \setminus \{0\}$が$SO_{3}$-逆説的で あるから $B^{3} \setminus \{0\}$は$M_{3}$-逆説的で あ
    る. 補題4.1より, $B^{3} \setminus \{0\}\sim _{M_{3}}B^{3}$ かつ $B^{3} \setminus \{0\}$ が$M_{3}$-逆説的である
    から, $B^{3}$は $M_{3}$-逆説的であることが示された. $_□$

系8.1 $\textit{\hbox{\ym R}}^{3}$は$M_3$-逆説的である.

証明
    定理8.1の$(1)$,$(2)$をそれぞれ

$A_{i}'=\bigl\{tx\ \vert\ x \in A_{i\ },\ t\in (0,\infty)\bigr\}$ , $B_{j}'=\bigl\{tx\ \vert\ x \in B_{j\ },\ t\in (0, \infty)\bigr\}$

    にすることで導かれる. $_□$