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定理 8.1
The Banach-Tarski Paradox

を

内の半径

の球体とする.
すなわち,

.
このとき,

は

-逆説的である. ここで,

は,

次元のユークリッド
運動群を表す.
証明
から中心を除いたもの
を考える. はじめに,
を
示す. 球体
の中心を
とし,
を含み,
に
含まれるような円
をと
る.
とおくと,
である.
定理3.2より
なので,
よって,
と
なる.
次に,
が
-逆説的で
あることを示す.
が
-逆説的であることから,
の分割
と
で,
となるものが存在する.
の
部分集合
より,
の部分集合を
で定める。
の部分集合
に対して
とおくと,
となるので,
という分割に対し
て
が成り立ち
は
-逆説的である.
は,
次元の回転群
であり,
は,
次元の回転と平行移動の
組み合
わせで得られる合同変換のうちで, 折り返しを含まないもの全体の
作る群
ユークリッド運動群
なので,
-逆説的であるならば,
-逆説的で
ある.
よって,
が
-逆説的で
あるから
は
-逆説的で
あ
る. 補題4.1より,
かつ
が
-逆説的である
から,
は
-逆説的であることが示された.
系8.1
は
-逆説的である.
証明
定理8.1の
,
をそれぞれ

,
にすることで導かれる.
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Yamagami Shigeru
平成15年2月14日