「バナッハ・タルスキーのパラドックス」(一般形)

補題8.2     任意の大きさの球体$L$と, それを互いに交わらないように 平行移動
させた $L_{1\ },\ \cdots \ ,L_n$ に 対して, $L \sim _{M_3}L_1\sqcup \cdots \sqcup L_n$ である.

証明
    定理8.1より, 球体$L$ は $M_3$-逆説的であるから,

     $L = A_1 \sqcup \cdots \sqcup A_{n\ }, A_1 \sim _{M_3} \cdots \ \sim _{M_3} A_n \sim _{M_3} L$

    となる $A_{1\ },\ \cdots \ ,\ A_n$ が存在する. $\bigl(系\ref{直前}より\bigr)$

                 $L\equiv L_1\ ,\ L\equiv L_2\ ,\ \cdots \ ,\ L \equiv L_n$
                 $L \sim _{M_3} A_1\ ,\ L \sim _{M_3} A_2\ ,\ \cdots\ , \ L \sim _{M_3} A_n$

    であるから, $A_1 \sim _{M_3} L_{1\ },A_2 \sim _{M_3} L_{2\ }, \ \cdots \ ,A_n \sim _{M_3}L_n$ である.
        よって, $L \sim _{M_3}L_1\sqcup \cdots \sqcup L_n$ である. $_□$

$\hbox{\ym R}^3$ の部分集合 $S$ は, $S$に属するすべての点の原点からの距離が
ある一定数より小さい とき, $S$は有界であるという.

定理 8.2   $\bigl($The Banach-Tarski Paradox $\bigr)$
内部が空でない$R^3$の有界部分集合$A,B$に対して, $A\sim_{M_3}B$ である.

証明
    定理6.1 $\bigl($ベルンシュタインの定理$\bigr)$よ り, $A\preceq B,\ B\preceq A\ \Longrightarrow A\sim_G B$
    なので, $A\preceq B,\ B \preceq A$ を証明する.

     $K\supset A,\ L\subset B$ となるような球体$K,\ L$を選ぶ. $K$ の有界性により、 $L$と同じ大きさの球体 $L_{1\ },L_{2\ },\ \cdots \ , L_{n\ }$を

             $K \subset L_1 \cup L_2 \cup \cdots L_n$

となるように選ぶことができる。 一方、$L$ と同じ大きさの球体 $L'_1, \dots, L_m'$ を互いに重ならないように用意しておく。

            $L_1'' = L_1$
             $L_2'' = L_2 \setminus L_1$
            
             $L_n'' = L_n \setminus (L_1 \cup \cdots \cup L_{n-1})$

    とおくと,

$$% latex2html id marker 1328L \sim_{M_3} (L_1' \sqcup \dots \sqcup L_n') \qquad(補題\ref{バナッハ・タルスキー})$$

に注意すれば、

$$L_1 \cup \dots \cup L_m = L_1'' \sqcup \dots \sqcup L_n'' \preceq L$$

となり、したがって、

$$A \subset K \subset L_1 \cup \dots \cup L_n \preceq L \subset B$$

より $A \preceq B$ がわかる。

動揺にして$B \preceq A$ も示せるので、 $A\sim_{M_3}B$ である。 $_□$


    これで, バナッハ・タルスキーの定理の証明が完成した.

参考文献

$[1]$ 砂田 利一 :「バナッハ・タルスキーのパラドックス」 $\bigl(岩波書店,1997\bigr)$
$[2]$ 志賀 浩二 :「無限からの光芒    〜 ポーランド学派 の数学者たち 〜」
                                                                                              $\bigl(日本評論社,\ 1988\bigr)$
$[3]$ 林 晋 :「パラドックス」 $\bigl(日本評論社,2000\bigr)$
$[4]$ 内田 伏一 :「集合と位相」 $\bigl(裳華房,1986\bigr)$
$[5]$ 志賀 浩二 :「群論への$30$講」 $\bigl(朝倉書店,1989\bigr)$
$[6]$ 石村 園子 :「すぐわかる代数」 $\bigl(東京図書,1999\bigr)$
$[7]$ 新妻 弘・木村 哲三 :「群・環・体 入門」 $\bigl(共立出版,1999\bigr)$
$[8]$「現代実用辞典」 $\bigl(講談社,1994\bigr)$
$[9]$ Stan Wagon :「 $The\ Banach$- $Tarski\ Paradox$ 」
                                 $\bigl($Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1985$\bigr)$
$[10]$ Francis Edward Su : The Banach-Tarski Paradox
         $\bigl(\ http://www.math.hmc.edu/$~ $su/papers.dir/banachtarski.pdf\ \bigr)$
$[11]$ Frank Wikstrom : The Banach-Tarski theorem
         $\bigl(\ http://abel.math.umu.se/$~ $frankw//articles/bt/\ \bigr)$