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補題 4.1
群

が

に作用しているとき,

の部分集合

,

に
ついて,

かつ

が

-逆説的で
あれば,

も

-逆説的である.
証明
かつ
とする.
を
補題6.1
i
の全単射
とすると,
であり,
であるから,
となって,
は
-逆説的で
ある.
補題 4.2

-空間

の部分集合

に
ついて,

であるとき,

が
成り立つ.
証明

とおくと,

である.
また,

で
あるから,

となる.
よって,

である.
定理4.2
群
が集合
に作用しているとする.
の部分集合
が弱い意
味で
-逆説的であるとき,
かつ
であるような
互いに素な部分集合
が存在する.
すなわち
は
-逆説的である.
証明
となる
の部分集合列で、
と書けるものが存在する。
そこで、
とおくと、補題
より
.
一方、
より、
であるので、
ベルンシュタインの定理により
.
次に、
とおくと、再び
補題
より
これと、
から明らかである
とを併せると、
ベルンシュタインの定理により
であるとわかる。
系4.2
群
が
に作用しているとし,
が
-逆説的で
あるとき, 勝手な
自然数
に対して

か
つ
であるような
が存在する.
証明
- heenumi ).
-
のとき
かつ
であるような
が存在する
ことは, 定義より明らかである.
- heenumi ).
-
のとき, 系4.2が成り立つと仮定すると
かつ
のとき
及び
を使って
となるものを作る.
そして,
とおくと,
は
となり, また,
より
となる.
よって,
のときも成り立つ.
i), ii)より, この系は成り立つ.
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Yamagami Shigeru
平成15年2月14日