球面$S^2$の分割合同性

補題 7.1   $D$が$S^{2}$の可算部分集合 ならば, $S^{2}$と $S^{2} \setminus D$は $SO_{3}$-分割合同.

証明
    まず, $SO_{3}$の元$g$で, $D$, $g(D)$, $g^{2}(D)$ , $\cdots$ が互いに交わらないように出来ることを示す.
    与えられた回転軸 $l$ のまわりの回転 $g$ について考える。 ある $g^{m}(D)$と $g^{n}(D)$とが交わるとき, すなわち $g^{m}(D)\ \cap \ g^{n}(D)\ \neq \emptyset \\ \quad \bigl(m \neq n\bigr)$ となるとき, $g^{m} ( x_{i} )= g^{n}(x_{j})$ となる ような$D$の元$x_{i\ },x_{j}$が
    存在することになる. この 式より, $g^{m-n}(x_{i})=x_{j}$ となる. ここで, $g$の
    回転角を$\theta$ $\bigl(\ 0<\theta <2\pi \ \bigr)$ と して, $\angle x_{i}Ox_{j} =\theta _{ij}$ $\bigl(\ 0<\theta _{ij}<2\pi ,\ Oは\\ \quad 原点\ \bigr)$ とおくと, $1$回につき$\theta$ の回転を$(m-n)$回行うと, 点$x_{i}$から
    点$x_{j}$に移動するという事だから, $(m-n)\ \theta =\theta _{ij}$ となり, これより,

$$\theta =\frac{\theta _{ij}}{m-n}\ \ \ or\ \ \frac{2\pi -\theta _{ij}}{m-n} \qquad \bigl(\ 0<\theta _{ij}<2\pi \ \bigr)$$

    が成り立つ. よって, このような角度の集合

$$\ \ Y＝\left\{\frac{\theta _{ij}}{m-n}\ \ or \ \frac{2\pi ... ...=0,1,2,\cdots \ \ ,m \neq n,\ 0<\theta _{ij}<2\pi \ \right\}$$

    を除いた角度であれば, 互いに交わらないように することが出来る.
        $g$の 回転角$\theta$を, $\theta \in (0,\ 2\pi )\setminus Y$ とする. $Y$は可算集合なので,
     $(0,\ 2\pi )\setminus Y\neq \emptyset$ となる. よって, このような$\theta$は存在する. このとき,
             $A_{1} =\displaystyle\ \bigsqcup_{n=0}^{\infty} g^{n} (D)\ ,\ A_{2}=S^{2}\setminus A_{1}\ ,\ B_{1}=g(A_{1})\ ,\ B_{2}=S^{2} \setminus A_{1}$
    とおく. すると, $S^{2} =A_{1}\bigsqcup A_{2}$ となる. また, $B_{1}\cup B_{2}=S^{2} \backslash D$であり,
     $g(A_{1})\subset A_{1}$ より, $B_{1} \cap B_{2} = \emptyset$ となるから, $S^{2}\setminus D=B_{1}\bigsqcup B_{2}$ と なる.
    ここで, $B_{1}=g(A_{1})\ ,\ B_{2}=A_{2}$ だか ら, 分割合同の定義より,

$$S^{2} \sim _{ SO_{3} } S^{2} \setminus D$$

    を得る. $_□$

定理 7.2   $S^{2}$は$SO_{3}$-逆説的である.

証明
    定理7.1より, $S^{2} \setminus D$は$SO_{3}$-逆説的 である. 補題7.1より, $S^{2}\setminus D\sim_{SO_{3}}S^{2}$
    である. よって, 補題4.1より, $S^{2}$は $SO_{3}$-逆説的である. $_□$