球面$S^2$の逆説性

定理 7.1   $\bigl($Hausdorff's theorem$\bigr)$
球面 $S^{2}$の可算部分集合$D$で, $S^{2} \setminus D$が$SO_{3}$-逆説的になるものが存在する.

証明
    $G$を自由群$F_2$と同型な$SO_{3}$ の部分群とし, 単位元でない$G$の元$g$による
    回転の軸を$l_{g}$とする.
        $G$は自由群と同型なので, $G$は逆説的群.
    定理6.2より, $G$ が $S^{2} \setminus D$ に自由に作用するような $D$ が見つかれば,
     $S^{2} \setminus D$は$G$-逆説的と なるので, これを示す.
        単位元でない$G$の元$g$に対して, 回転によって 移動しない球面の点,
    すなわち $gx=x$ となる点は,

$x \in \ l_{g}\cap S^{2}$      $\bigl(\ 軸と球面との共通部分\ \bigr)$.

    ここで,自由に作用するとは,

「 $G$の元$g$と球面$S^{2}$の点$x$に対して $gx=x$ ならば $g=I$ 」

    を満たすことをいうが, この対偶をとると,

「 $G$の元$g$と球面$S^{2}$の点$x$ に対して $g \neq I$ ならば $gx \neq x$ 」

    となる. $S^{2}$自身は, 回転によって移動しない点を 含んでいて, 対偶の条件
    を満たしていないので, $G$は$S^{2}$に自由に作用して いないことに注意.

     $D=\displaystyle\ \bigcup_{g \in G \atop g \neq I} \bigl(\ l_{g} \cap S^{2}\ \bigr)$     $\bigl($軸と球面との共通部分全体$\bigr)$ とおく.
    この$D$が可算かどうかを調べる. まず自由群$F_2$は,

     $F_2=\displaystyle\ \bigcup_{n=0}^{\infty} W_{n}$      $\bigl(\ W_{n}$ は, 生成元 $\sigma,\tau$ ,文字数$n$の既約語全体 $\bigr)$

    と表される. この$W_{n}$を具体的に表すと,

                                         $W_{0} =\bigl\{\emptyset \bigr\}$
                                         $W_{1} =\bigl\{\ \sigma ,\ \tau ,\ \sigma^{-1},\ \tau ^{-1}\ \bigr\}$
                                         $W_{2}=\bigl\{\ \sigma \tau ,\ \tau \sigma ,\ \sigma ^{-1}\tau , \ \cdots \ \bigr\}$
                                         $\hspace{0.2cm} \vdots$

    となる.
    この$W_{n}$の元は, 一つ一つ番号を付けて数えられる ので, $F_2$は可算となる.
    よって, $F_2$と同型な$G$も可算.
        ゆえに, 単位元でない$G$の元$g$により固定される点の 集合である$D$も
    可算となる.ここで, $S^{2} \setminus D$が$G$で不変である理由を 説明する.

    もし, $S^{2} \setminus D$が$G$で不変でないならば, $G$の元$g$と $S^{2} \setminus D$の点$x$に対し
    て, $gx\notin S^{2}\setminus D$ , すな わち $gx\in D$ となる.
    $gx$が$D$の元, すなわち, ある回転で移動しない点だから, $g'(gx)=gx$ と
    なる単位元でない$G$の元$g'$が存在することになる.
    両辺に $g^{-1}$を左側からかけると,

            $g^{-1} g'gx=x$

     $x\in S^{2}\setminus D$だから, $g^{-1}g'g=I$
    ∴ $g'=I\ .$    これは矛盾.
    ∴ $gx\notin D\ .$
    以上より, $S^{2} \setminus D$が$G$で不変であることが 示された.

     $S^{2} \setminus D$は, 球面$S^{2}$ から回転によって固定される点の集合$D$を取り除いた
    集合なので, 対偶の条件を満たし, $G$は $S^{2} \setminus D$ に自由に作用する.
        よって, $S^{2} \setminus D$は$G$-逆説的となる.

        最後に, 定義4.1と, $G$の元が$SO_{3}$ の元でもあることから, $S^{2} \setminus D$は
    $SO_{3}$-逆説的となる. $_□$