逆説的群の例

定理 6.2   3次の回転群${SO}_3$ は逆説的群である. すなわち, ${SO}_3$の自分自身
への左作用は逆説的である.

証明
    ２つの生成元 $\sigma,\tau$によって生成される 自由群を$F_2$とする.
    自由群$F_2$の単位元を$1$ , ${SO}_3$の単位元を$e$とする.

             $\phi ^{\pm 1} = 5^{-1} \left( \begin{array}{ccc} 3 & \mp 4 & 0 \\ \pm 4 & ... ...ray}{ccc} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & \mp 4 \\ 0 & \pm 4 & 3 \end{array} \right)$

    とおく. $\phi,\rho$は, それぞれ$z$軸のまわりの回転, $x$軸のまわりの回転である.
     $f$を, 準同型写像

$f(\sigma)=\phi$, $f(\tau)=\rho$, $f(w_1w_2) =f(w_1)f(w_2)\qquad \bigl(\ w_{1\ },w_2 \in F_2\ \bigr)$

    として定めることが出来る.
    $f$が1対1であることが わかれば, ${SO}_3$は $F_2$と同型な
    部分群を含むので,系6.1.2により逆説的である. そこで, $f:F_2 \to {SO}_3$が
    単射かどうかが問題である.
    $w \neq 1$ のとき, $f(w) \neq e$ を示せば$f$が 単射であることがわかる.
    整数を成分とする行列の積の成分は,再び整数であるので,
    長さ$k$の語$($word$)$ $w$ に対して

                 $f(w) \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} \right) = 5^{-k} \left( \begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array} \right)$          $\bigl(\ a,b,c\ は\ 整数\ \bigr)$

    と書き表せる.
     $f(w) \neq e$ をいうためには, $b$が$5$で割り切れない ことを示せば十分である.
    文字数が$k$の$\sigma$ で終わる被約語$w\ (\neq 1)$を考える. $b$が$5$で割り切れない
    ことを帰納法で示す.

• k=1のとき

                 $f(\sigma) \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} \right) = \p... ...t) =5^{-1} \left( \begin{array}{c} 3 \\ \pm 4 \\ 0 \\ \end{array} \right)$

        これは, $b$が$5$で割り切れないことを表す.

• k $\geq$ 2のとき

         $k-1$まで, $b$が$5$で割り切れないとすると, $w'$が文字数$k-1$の被約語
        であるとき

                 $f(w') \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} \right) = 5^{-(k-1)} \left( \begin{array}{c} a' \\ b' \\ c' \end{array} \right)$,         $b'$ は $5$ で割り切れない

        となる.
        $w''$を文字数$k-2$の被約語とすると, $w$は $w=xyw''\ \ \bigl(\ x,y\ ;\ \sigma \ あるい\\ \qquad は\ \tau \ \bigr)$で表され, これは次のように場合分けされる.

$\begin{array}{lrlr} \qquad \qquad w=\sigma^{\pm 2} w'' & \cdots (1)& \qquad w... ...cdots(3)& \qquad w=\tau^{\pm 1} \sigma^{\pm 1} w'' & \cdots(4)\\ \end{array}$

    (1)の場合 $\bigl(\ a'=3a''\mp 4b'',\ b'=\pm 4a''+3b'',\ c'=5c''\ \bigr)$
             $b=\pm 4a' + 3b' =\pm 12a'' - 16b'' + 3b' =3(\pm 4a''+3b'') + 3b'- 25b''\\ \qquad \quad \ =6b' - 25b''$
    (2)の場合 $\bigl(a'=5a'',b'=3b'' \mp 4c'',c'=\pm 4b''+3c''\bigr)$
             $b=3b' \mp 4c' =3b'-16b'' \mp 12c'' =3b'-25b''+3(3b'' \mp 4c'')\\ \qquad \quad \ =6b'-25b''$
    (3)の場合
             $b= \pm 4a' + 3b' = \pm 20a'' + 3b'$
    (4)の場合
             $b= 3b' \mp 4c' = 3b' \mp 20c''$

    よって, すべての$k$について, $b$が$5$で割り切れない ことが確かめられた.
    また, $\tau$ で終わる被約語($\neq 1$)の場合も 同様のことが言える.
    $f$は同型写像であるから, ${SO}_3$ の部分群は 自由群と同型である. $_□$