A+ --- かなりわかった人（５人）
A --- 結構わかった人（１２人）
B --- ある程度わかった人 （１４人）
C --- 少しわかった人 （１８人）
D --- 危なかった人（１１人）
E --- 結果を出せなかった人（２人）
/ --- あきらめた人 （２人）
合計６４人
教科書は、指定しませんが、 それに替わる 資料とこの授業の 進度予定表を用意しました。 情報処理センターなどの端末から閲覧・印刷してください。
大学の授業というのは、高校までの授業と比較して、
その内容の違いもさることながら、
各自が自主的に組み立てていく点が大きく異なります。
上からのお仕着せ、あるいは手取り足取りから、できるだけ
早く抜け出すことが肝要です。
「出欠をとらないから、あるいは宿題が出ないから、勉強できない」
という言い訳をしてはいけません。
そうはいっても、人間怠ける動物でもあるので、一定の履修指針は
定められていて、その条件の範囲での自由度ということにはなります。
（人間年は取りたくないものだ、こういう「お節介」こそ、 忌み嫌うべきことなのに。）
さて、堅苦しい話はこれくらいにして、 今日は、数野集合の記号、集合算の性質(ブール代数)を説明して、 「ふるいの公式」とその応用として、プレゼント交換の場合の数を 計算しました。差集合の記号は説明できなかったので、 次回は、そこからになります。
問題練習に関連して、「解答が欲しい」、「答え合わせをして欲しい」といった 要望を受けました。 これについては、いろいろな人がいろいろな形で書いていますが、 私個人としては、。 「正しいか間違っているか、自分でチェックできる」 というのが、ものすごく大事な目標であると思っています。
考えてみて下さい。皆さんが、何か答えを出さないといけない仕事に 従事しているとして、その答えを教えてくれる人は他に期待できるでしょうか。 始めからどうすれば良いかがわかっていれば、誰もそういった仕事は頼みません。
最初は、戸惑うことも多いかも知れませんが、 どうか、自らの確信する(できる)ことを心がけて下さい。 もちろん、問題を解く過程で生じた疑問・質問には、 アドバイス差し上げたいと思います。
さて、授業後の質問から、和の記号の使い方について、補足が必要と 思いました。次回は、この辺の説明から入ることにしましょう。
試験のお知らせです。 5月17日、授業の中で1時間程度。 やさしい例題・問題を中心に練習しておいて下さい。 詳しい、範囲は、次回の授業で。
さて、今回は集合の積と羃集合の説明をしました。
この2つの操作を組み合わせることで新たな集合をつくり出すことができます。
とくに、積集合の方は、図形的イメージと結び付いており、
集合を幾何学的に処理する場合にとくに役に立ちます。
これに比べて、べき集合の方は、分かりにくいかも知れませんが、
集合をその中の部分集合の関係で調べる際に重要となります。
普通は扱う必要がないでしょうが、冪集合のべき集合とか、
いろいろと思いを馳せると、楽しい(苦しい?)かも知れません。
若い皆さんは、脳を酷使する、に限ります。
次の授業の中で1回目の試験をします。
試験範囲は、過去3回の授業で説明した内容です。
概念を具体的に理解できているかどうか、復習しておいて下さい。
不思議といえば、「x = { x}」という関係式も幻惑的で、 何でしょうかねえ、これは。 形式的に「くり返し(iteration)」の方法を使えば、「x」はその両側に 無限回の括弧({ })を伴った面妖なものではあります。 不用意に近付くと深みにはまってしまうので、 勉強を始めたばかりの「よいこ」は、気をつけて下さい。 少なくとも、このことで、私に質問は、決してしないように。 怖いですねえ。
試験1の問題です。
予定していた、写像の考え方、単射、全射、全単射、の説明をしました。 写像の作る集合を表わす記号の由来については、 次回に復習がてら補足したいと思います。 あと、最後にやった命題の図解とか。
次回の試験は、6月7日です。
試験1の解答です。
さて、今日は、その「悪評高い」写像の第二弾です。 写像の「像」と「逆像」について説明しました。 写像とか関数に対する経験が増せば、 様々なものがこういった概念(あるいは記号) で簡潔に表わすことができると実感できるでしょう。 ここは、目が見える幸せ、図を描いて理解しておきましょう。 また、具体的な例で、問題の処理の仕方も復習しておいて下さい。
次回の試験範囲は、 写像(単射、全射、全単射)、像と逆像(意味と簡単な計算) です。
試験2の問題(の解説)です。 最低限の内容です。最低の問題かもしれません。反省しております。 でも、これが現実認識であったりもします。悲しいことです。
いよいよ最初の山場です。
同値関係と同値類です。
べき集合のときもそうでしたが、「集合の集合」は、
慣れる(割り切って考えられるようになる)までが大変のようです。
同値類と同値関係にも同様のことが言えるかも知れません。
しかしながら、落ち着いて考えればすぐ分かることですが、
同値類とか商集合とかは、日常的に無意識に使われていることで、
人間の集団を組織ごとにグループ分けする、
メールを内容別に類別する、といった行為と本質的に異なりません。
ぜひ、「なーんだ」と言えるようになって下さい。
次回の試験範囲ですが、 (1)写像の合成と逆写像の具体的な計算、 (2)ベクトルと剰余類についての同値類、商集合、商写像 です。
さて、試験も3回目となり、残すは1回だけとなりました。 今回の試験は、暑気払い大サービス、のつもりでしたが、 はてさて。これで、逆関数の意味、ベクトルと有向線分の関係が わかっていただければ良いのですが。 「授業の復習コーナー」では、代表系と選択公理、を補っておきました。
試験3の問題です。
今日から後は、Georg Cantor の一人舞台です。
あ、Bernstein も顔を出しました。
合言葉は、「無限と仲良くする」です。
有限の生命しか持ち得ないわれわれにとっては、
神をも冒涜する行為なのかも知れません。
Cantor 教のごとき扱いだけは、厳に謹まないといけません。
これは、暑さで脳がやられてますな。
とにかく、集合の対等を調べる際のBernsteinの定理の活用法、
といったあたりを復習しておいて下さい。
といったことは置いといて、可算集合です。授業だけで １００％わかってたまるか、です。本を閉じて、Cantor の悪戦苦闘に 思いを馳せましょう。無限を掴んでしまった数学者の悲劇。
次回は、いよいよ、最終、4回目の試験です。 これまでの総復習の意味も込めて、全単射が存在するとは、 どういうことか、写像の像(値域)と可算集合との関係、 といった辺りを復習しておいて下さい。