一般の行列式

$n$ 次の行列式を、$n-1$ 次の行列式を使って帰納的に、

$$\begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n}\\ a_{... ...& \cdots & \vdots\\ a_{n1} & \cdots & [a_{nj}] & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$$

と定義する。ただし、 $[a_{2j}],\dots,[a_{nj}]$ とあるのはそこの部分の削除を意味する。 （１行に関する展開。）

行列式のサイズに関する帰納法で（２次の行列式の性質から ３次の行列式の性質を導いたのと同じ方法で）、 次の性質を確かめることができる。

1. 線型性： 行列式 $\det(\overrightarrow{a}_1,\cdots,\overrightarrow{a}_n)$ は各ベクトルについて１次式の性質を持つ。
2. 交代性： $\overrightarrow{a}_1,\cdots,\overrightarrow{a}_n$ のうちの ２つのベクトルを入れ替えると行列式の値は符号が反対になる。
3. 規格化条件：
   $$\begin{vmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 1 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{vmatrix} = 1.$$

たとえば、 ${\overrightarrow a}_k$ と ${\overrightarrow a}_l$ ($k < l$) の入れ換えについての 交代性を示すのであれば、展開式（定義式）の和の部分を

$$\sum_{j\not= k, j \not= l} (-1)^{j+1} a_{1j} \begin{vmatrix}a_{21... ... & \cdots & \vdots\\ a_{n1} & \cdots & [a_{nj}] & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$$

$$+ (-1)^{k+1} a_{1k} \begin{vmatrix}a_{21} & \cdots & [a_{2k}] & \... ... & \cdots & \vdots\\ a_{n1} & \cdots & [a_{nl}] & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$$

といった分け方にして帰納法の仮定を使う。 あるいは、線型性を確かめたあとで、２つの列を等しいした場合に 値が 0 になることを示す。

問 9   $n=4$ のときに上の３つの性質を確かめよ。

問 10   行列式の性質（列に関する線型性と交代性）から、 連立一次方程式の解の公式 (Cramer's rule)を導け。 （クラメールの公式そのものは、歴史的価値を除いて、 それほど重要なものではない。）

$m\times n$ 行列 $A = (a_{ij})_{1\leq i\leq m, 1\leq j \leq n}$ の転置行列 (transposed matrix) $\,{}^tA$ を ${}^tA = (a_{ji})$ で定める。 (転置行列は、しばしば、$A^t$ という書き方もするが、 これだと行列 $A$ の $t$ 乗と紛らわしい。）

$$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} ... ...& \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}.$$

成分の縦横の位置関係に注意。

行列式の性質として基本的なものが次の定理である。 （証明については、節を改めて述べる。）

定理 3.1    

1. 線型性・交代性は行ベクトルについても成り立つ。
2. 行に関する展開式、列に関する展開式が成り立つ。
3. 転置行列の行列式は元の行列式に等しい。
4. 行列の積についての性質、積の行列式は行列式の積に等しい。 （まるで、呪文ですな。数学（科学も？）を式抜きで理解することは困難。 「数式なしの何とか」というのはまやかしである。）

系 3.2    

1. 行列式のなかに同じ行または列があれば、行列式の値は 0。
2. ある行(列)の定数倍を他の行(列)に加えても行列式の値は変化しない。

例題 3.3   ４行４列の計算例。

例題 3.4   三角行列の行列式。

$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \dots\\ 0 & a_{22} & ... ... \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{vmatrix}= a_{11} a_{22} \dots a_{nn}.$$

問 11   いろいろな４行４列の行列について、その行列式の計算を実行せよ。

問 12   $n\times n$ 行列 $A$ とスカラー $a$ に対して、 $aA$ の行列式は $A$ の行列式の何倍か。 （こういうクイズをやっている場合か？）

(1) $1$ 倍、(2) $\vert a\vert$ 倍、(4) $a^n$ 倍、(3) $a$ 倍、 (5) $\vert a\vert^n$ 倍。