２次・３次の行列式

２元連立１次方程式

$$ax + by = s,\quad cx + dy = t$$

を行列の積を使って書けば、

$$\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\ y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}s\\ t\end{pmatrix}.$$

これを $x$, $y$ について解けば

$$x = \frac{sd - tb}{ad - bc},\quad y = \frac{at - cs}{ad - bc}.$$

問 5   この公式を導け。 （この公式は、覚えるものではなく導くものである。）

この共通に現われる分母の式を行列 $A = \begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}$ の行列式 (determinant、意味は「決定式」) といい、

$$\det(A) = \vert A\vert = \begin{vmatrix}a & b\\ c & d\end{vmatrix}$$

と書く。この記号を使えば上で与えた解の公式は

$$\begin{vmatrix}a & b\\ c & d\end{vmatrix} x = \begin{vmatrix}s ... ...trix}a & b\\ c & d\end{vmatrix} y = \begin{vmatrix}a & s\\ c & t\end{vmatrix}$$

となる。

行列 $A$ を縦割にして $A = (\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ と書く。すなわち、

$$\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} a\\ c \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} b\\ d \end{pmatrix}.$$

このとき、次の関係が成り立つ。

1. 線型性 (linearity)：
   $$\det (a \overrightarrow{u} + b\overrightarrow{u}',\overrightarrow... ...arrow{u},\overrightarrow{v}) + b\det (\overrightarrow{u}',\overrightarrow{v}).$$

2. 交代性 (alternating property)：
   $$\det(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}) = - \det(\overrightarrow{v}, \overrightarrow{u}).$$

3. 規格化条件 (normalization condition)：
   $$\begin{vmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{vmatrix} = 1.$$

問 6   上の性質を確認する。 面倒くさがってはいけない。こういう地道な作業を行うかどうかで、 今後の理解度が大きく異なってくる。

「あとで」と言わずに今すぐチェック。

一般化

$$a_1x + b_1y + c_1z = t_1 \tag1$$

$$a_2x + b_2y + c_2z = t_2 \tag2$$

$$a_3x + b_3y + c_3z = t_3 \tag3$$

未知数 $x$ を定数とみて第２、３式を $y$, $z$ について解くと

$$\begin{vmatrix}b_2 & c_2\\ b_3 & c_3\end{vmatrix} y = \begin{vmat... ...\ t_3 & c_3\end{vmatrix} - \begin{vmatrix}a_2 & c_2\\ a_3 & c_3\end{vmatrix} x,$$ (4)

$$\begin{vmatrix}b_2 & c_2\\ b_3 & c_3\end{vmatrix} z = \begin{vmat... ...\ b_3 & t_3\end{vmatrix} - \begin{vmatrix}b_2 & a_2\\ b_3 & a_3\end{vmatrix} x.$$ (5)

そこで、(1) 式を $\begin{vmatrix}b_2 & c_2\\ b_3 & c_3\end{vmatrix}$ 倍して、(4), (5) 式を代入すると

$$\left( a_1\begin{vmatrix}b_2 & c_2\\ b_3 & c_3\end{vmatrix} - b... ...3 & c_3\end{vmatrix} + c_1 \begin{vmatrix}t_2 & b_2\\ t_3 & b_3\end{vmatrix}.$$

この両辺には同じ形の式が現れるので、３次の行列式を

$$\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2\\ a_3 & b_3 & c... ..._3 & c_3\end{vmatrix} + c_1\begin{vmatrix}a_2 & b_2\\ a_3 & b_3\end{vmatrix}$$

で定義する。(１行目に関する展開。) そうすると、上で求めた連立方程式の解の公式は、

$$\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2\\ a_3 & b_3 & c... ...egin{vmatrix} t_1 & b_1 & c_1\\ t_2 & b_2 & c_2\\ t_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}$$

などとなる。

３次の行列式の性質。

1. 線型性：行列式 $\det(\overrightarrow a, \overrightarrow b, \overrightarrow c)$ は各ベクトルについて、１次式の性質を持つ。
2. 交代性： $\overrightarrow a$, $\overrightarrow b$, $\overrightarrow c$ のうち２つのベクトルを入れ替えると行列式の値にマイナス符号がつく。
3. 規格化条件：
   $$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1.$$

問 7   未知数 $y$, $z$ を3次の行列式を使って表す公式を導け。

問 8   ３次の行列式についても上の性質を確認する。 これも面倒くさがってはいけない。 「あとで」は禁物である。