分割合同の定義と性質

次に示すのが, 「バナッハ$\cdot$タルスキーの定理」の証明において, 重要 な概念である分割合同の定義である.

定義 3.1   $\ Gを集合Xに作用する群,\ および\ A,B⊆X\ とする.$
$\ \quad B＝gA$となる$g\in G$が存在するとき, $AはB$に G-合同であるといい,
$A \equiv _{G}B$ と表す.
     $A_i\equiv_G B_i$ となるように $A,B$を $A_{1\ },A_{2\ },\ \cdots \ ,A_{n\ },B_{1\ },B_{2\ }, \ \cdots \ ,B_n$と
分割できる, すなわち

$A=A_1\sqcup A_2\sqcup \cdots \sqcup A_{n\ }$, $B=B_1\sqcup B_2\sqcup \cdots \sqcup B_n$
$B_i =g_iA_i\ \ \ \bigl(\ g_i\in G\ \bigr)\qquad \quad \bigl(\ i=1,2,\cdots ,n\ \bigr)$

であるとき,

$A$と$B$はG-分割合同である

といい, $A\sim _{G}B$ $\bigl($ または, $G$を省略して $A\sim B\ \bigr)$ と表す.

注意 3.1   上で定義された分割合同は, 図形の“周辺部分”を含めて, 重なり
があってはならない. 図形の “常識的な分割合同”は, 今の場合, 分割合同に
なっていない. なぜなら, 対角線が二重になっているから である. その意味で,
「バナッハ・タルスキーのパラドックス」の証明 に現れる分割合同は, 厳しい
意味での分割合同になっている.

注意 3.2   定義 $\ref{分割合同}$において, $X$がユークリッド 空間 $\hbox{\ym R}^3$, $G$が ユークリッド
空間 $\hbox{\ym R}^3$内の運動群$M_3$の場合, $G$-合同 は,いわゆる通常の$(図形の)$合同と
同じである.

半径$r$の異なる $2$つの球体が, 常に, ユークリッド空間 $\hbox{\ym R}^3$内の運動群$M_3$について分割合同で あるという主張が「バナッハ・タルスキーの定理」の正確な内容である。

補題 3.1   “$\equiv _{G}$”は, $X$の部分集合族の上の同値関係である.

証明
     $(1)\ 任意のA\subset X$について, $A$に$G$の単位元 $e$をかけると $eA=A$となる
         ので $A\equiv _{G}A$ である.
         よって, 関係$\equiv _{G}$は反射律を 満たす. $_□$

     $(2)\ 任意のA,B\subset X$につい て, $A \equiv _{G}B$ならば, ある $g\in G$によって,
         $B=gA$ となる. 両辺に$g$の逆元$g^{-1}\in G$をかけると
         $g^{-1}B=g^{-1}(gA)=(g^{-1}g)A=A$ となるので $B\equiv _{G}A$ である.
         よって, 関係$\equiv _{G}$は対称律を 満たす. $_□$

     $(3)\ 任意のA,B,C\subset X$について, $A\equiv _{G}B ,\ B\equiv _{G}C$ならば, ある$g,h\in G$
         によって $B=gA,\ C=hB$ となる. したがって,
         $C=hB=h(gA)=(hg)A\ \ \bigl(\ g,h\in G\ \bigr)$ となるので $A \equiv _{G}B$ である.
         よって, 関係$\equiv _{G}$は推移律を 満たす. $_□$

補題 3.2   “$\sim _{G}$”は, $X$の部分集合族の上の同値関係である.

証明
     $(1)\ 任意のA\subset X$について, $A=A_1\sqcup A_2\sqcup \cdots \sqcup A_n$ とおく.
         各 $A_i\ \ \bigl(\ i=1,2,\cdots ,n\ \bigr)$ に群$G$ における単位元 $e$をかけると,
         すべての $i\ \bigl(=1,2,\cdots ,n\ \bigr)$ につい て $eA_i=A_i$ となるので

$A=A_1\sqcup A_2\sqcup \cdots \sqcup A_{n\ }$, $A=A_1\sqcup A_2\sqcup \cdots \sqcup A_n$
$A_i =eA_i\ \ \ \bigl(\ e\in G\ \bigr)\qquad \quad \bigl(\ i=1,2,\cdots ,n\ \bigr)$

         と表すことができる. したがっ て, $A\sim _{G}A$ であることは明らか.
         よって, 関係$\sim _{G}$は反射律を満たす. $_□$

     $(2)\ 任意のA,B\subset X$に ついて, $A\sim _{G}B$ であるならば,

$A=A_1\sqcup A_2\sqcup \cdots \sqcup A_{n\ }$, $B=B_1\sqcup B_2\sqcup \cdots \sqcup B_n$
$B_i =g_iA_i\ \ \ \bigl(\ g_i\in G\ \bigr)\qquad \quad \bigl(\ i=1,2,\cdots ,n\ \bigr)$

         となる. $B_i =g_iA_i$の両辺に $g_i$ の逆元$g_i^{-1}\in G$ をかけると

$g_i^{-1}B_i=g_i^{-1}(g_i^{\ }A_i)=(g_i^{-1}g_i^{\ })A_i=A_i$

         となる. したがって,

$B=B_1\sqcup B_2\sqcup \cdots \sqcup B_{n\ }$, $A=A_1\sqcup A_2\sqcup \cdots \sqcup A_n$
$A_i =g_i^{-1}B_i\ \ \ \bigl(\ g_i^{-1}\in G\ \bigr)\qquad \bigl(\ i=1,2,\cdots ,n\ \bigr)$

         となるので $B\sim _{G}A$ である.
         よって, 関係$\sim _{G}$は対称律を満たす. $_□$

     $(3)\ 任意のA,B,C\subset X$について, $A\sim _{G}B, B\sim _{G}C$ ならば $A\sim _{G}C$ を
         示す. まず, $A\sim _{G}B$ なので

$A=A_1\sqcup A_2\sqcup \cdots \sqcup A{_m\ }$, $B=B_1\sqcup B_2\sqcup \cdots \sqcup B_m$
$B_i =g_iA_i\ \ \ \bigl(\ g_i\in G\ \bigr)\qquad \quad \bigl(\ i=1,2,\cdots ,m\ \bigr)$

         と表すことができる. また, $B\sim _{G}C$ なので

$B=B'_1\sqcup B'_2\sqcup \cdots \sqcup B'_{n\ },\ C=C_1\sqcup C_2\sqcup \cdots \sqcup C_n$
$C_j =h_iB'_j\ \ \ \bigl(\ h_j\in G\ \bigr)\qquad \ \bigl(\ j=1,2,\cdots ,n\ \bigr)$

         と表すことができる.
         $A_{ij}=g_i^{-1}(B_i\cap B'_j)$ と おけば, 両辺に$g_i\in G$ をかけることによって

$g_iA_{ij}=g_i^{\ }g_i^{-1}(B_i\cap B'_j)=B_i\cap B'_j$

         となる. また, $C_{ij}=h_j(B_i\cap B'_j)$ とおけば

$C_{ij}=h_j(B_i\cap B'_j)=h_j(g_iA_{ij})=(h_jg_i)A_{ij}$

         であるので

$A=\bigsqcup \limits_{ i,j}A_{ij\ }, \ C=\bigsqcup \limits_{ i,j} C_{ij\ },\ C_{ij}=(h_jg_i)A_{ij} \quad \ \bigl(\ g_{i\ },h_j\in G\ \bigr)$

         となる. したがって, $A\sim _{G}C$ である.
         よって, 関係$\sim _{G}$ は推移律を満たす. $_□$

定義 3.2   $G$-空間$X$の部分集合$A,B$に対して, $A$が$B$のある部分集合と
$G$-分割合同であるとき, $A\preceq_{G}B$ と表す.
$\bigl($つまり, $A \preceq_{G} B \ \stackrel{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow}\ A \sim_{G}B'$ となる$B' \subset B$が存在する. $\bigr)$

注意 3.3   明らかに, $A\subset B$ ならば $A\preceq_{G}B$である.

注意 3.4   $\preceq$は, 半順序関係である.

補題 3.3   分割合同に関して, 次の２つの性質が成り立つ.

1. $A\sim _{G}B$であるとき, 全単射 $\varphi :A \longrightarrow B$ で, 任意の $C \subseteq A$ に対し
                て, $C \sim_{G} \varphi (C)$が成り立つような ものが存在する.
   
2. $A=A_{1}\sqcup \cdots \sqcup A_{n\ }, \ B=B_{1}\sqcup \cdots \sqcup B_{n} \ \ かつ\ \ A_{i}\sim_{G}B_{i}$
                                                                                                     $\bigl(\ i=1,2, \cdots ,n\ \bigr)$
                $\Longrightarrow \ A\sim_{G} B$.

証明
    (i) $G$-分割合同であることより, $A,B$ を それぞれ, $A=A_{1}\sqcup \cdots \sqcup A_{n\ },\\ \qquad \ \ \ \ B=B_{1} \sqcup \cdots \sqcup B_{n}$ と分割して, $B_{i}=g_{i}A_{i}\ \bigl(\ g_{i} \in G,\ i=1,2,\ \cdots\ ,n\ \bigr)$
            とできる. そこで, 全 単射 $\varphi :A \longrightarrow B$ を $\varphi (x)=g_{i}x$ $\bigl(x \in A_{i\ }\bigr)$に
            よって定める.

$A_{1}$

$\hspace{1em} \cdots \hspace{1em}$

$A_{n}$

$\downarrow$

$\hspace{1em} \varphi \hspace{1em}$

$\downarrow$

$B_{1}$

$\hspace{1em} \cdots \hspace{1em}$

$B_{n}$

         $C \subseteq A$ に対し, $C=(C \cap A_{1})\sqcup \cdots \sqcup (C \cap A_{n})$と分割でき,
             $\varphi (C) =\varphi (C\cap A_{1})\sqcup \cdots \sqcup \varphi (C\cap A_{n})$となるので,

$\varphi (C \cap A_{i})=g_{i}(C \cap A_{i})\quad \bigl(\ i=1,2,\ \cdots \ ,n\ \bigr)$

            となる. よって, $C \sim_{G} \varphi (C)$である. $_□$

    (ii) 明らかである. $_□$

定理 3.1   $\bigl($ベルンシュタインの定理$\bigr)$
$G$を集合$X$に作用する群とし, $A,B \subseteq X$と する. このとき,

$A \preceq_{G} B ,\ B \preceq_{G} A\ \Longrightarrow \ A \sim_{G}B$

が成り立つ.

証明
    分割合同の性質$($i$)$,$($ii$)$を使う.
    $A \preceq B$かつ$B \preceq A$より, $B' \subseteq B$かつ $A \sim_{G}B'$, $A' \subseteq A$かつ$B\sim_{G}A'$
    であるような$A',\ B'$が存在する. そこで,

$$\begin{eqnarray*} 全単射&f\ :&A \longrightarrow B',\ B'=f(A)\\ &g\ :&B \longrightarrow A',\ A'=g(B) \end{eqnarray*}$$

    で補題6.1 $($i$)$の性質をもつものがある.
     $C_{0}=A \setminus A'$ とし,
     $C_{1}=g\bigl(f(C_{0})\bigr)\ ,\ C_{2} =g\bigl(f(C_{1})\bigr)\ , \ \cdots \ ,\ C_{n+1}=gf(C_{n})\ \ (n \geq 0)$ と定め,
     $C= \displaystyle \bigcup_{n=0}^{ \infty }C_{n}$ とおく。 $C \subset A$ であるから、補題6.1(i)の性質より、 $C \sim_G f(C)$ である。

次に、

$$\begin{eqnarray*} g(B \setminus f(C)) &=& g(B) \setminus gf(C) \quad(\hbox{$g$\... ..._{0} \cup C_{1} \cup C_{2} \cup \cdots )\\ &=& A \setminus C \end{eqnarray*}$$

    すなわち, $A \setminus C=g\bigl(B \setminus f(C)\bigr)$が 成立する.
        よって, 補題6.1(i)の性質より $A \setminus C \sim_{G}B \setminus f(C)$ .
    最後に、補題6.1 $($ii$)$を使って、

$$A = (A \setminus C) \sqcup C \sim_G (B\setminus f(C)) \sqcup f(C) = B$$

となる。 $_□$

注意 3.5   “ベルンシュタインの定理”というと, 一般的には次のものをいう.

         「 集合$A,B$について, $A$から$B$への 単射および$B$から
             $A$への単射がともに存在すれば, $A$と$B$は 濃度が等しい 」

定理 $\ref{ベルンシュタインの定理}$で$G$の作用を「自明」な ものとして取れば, 通常のベルンシュタインの定理に帰着する. この 意味で, 定理 $\ref{ベルンシュタインの定理}$はベルンシュタインの定理 の拡張になっている.