連立１次方程式

$A$ を $m\times n$ 行列とし、連立１次方程式

$$A{\overrightarrow x}= 0, \qquad {\overrightarrow x}= \begin{pmatrix} x_1\\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix}$$

を考える。 このように定数項が零であるような方程式を斉次型 (homogeneous) と呼ぶ。ベクトルの集合

$$V = \{{\overrightarrow x}; A{\overrightarrow x}= 0\}$$

をその解空間 (the space of solutions) とよぶ。 ベクトル ${\overrightarrow x}$ に対して、

$$A{\overrightarrow x}= 0 \iff B{\overrightarrow x}= 0 \iff C{\overrightarrow x}= 0 \iff D{\overrightarrow x}= 0.$$

ここで、$B$ は $A$ の２つの行を入れ替えた行列。$C$ は $A$ のどこかの行に 別の行の定数倍を加えたもの。 $D$ は $A$ のどれかの行に 0 でない数を掛けたもの。

結論として連立１次方程式 $A{\overrightarrow x}= 0$ の解空間は、 行列 $A$ に上の３種類の操作を繰り返し施して行列の形を変えていっても 変化しない。

1. $A$ の行を入れかえる。
2. $A$ のいずれかの行の定数倍を別の行に加える。
3. $A$ の何れかの行に 0 でない数を掛ける。

連立１次方程式の解法の基本は、 この３種類の操作を繰り返すことにより、最初に与え られた行列を階段行列 (echelon matrix) に変形することにある。

ここで、階段行列とは、左下に 0 がならび、上から一段ずつ行成分 が減っていく形のもの。 $j_1, j_2, \dots j_r$ 列に階段の角が現れるとすると、 0 でない行が $r$ 行続いて階段行列になる。

$$\bordermatrix{ & & & & j_1 & & j_2 & \dots & j_r & \cr & 0 & \dot... ... & \dots \cr & 0 & & & & \dots & & & & 0 \cr & \vdots & & & & & & & & \vdots }$$

定理 6.1   最初の二種類の操作の有限回の繰り返しで、 全ての行列は階段行列に変形可能である。

問 18   変形のアルゴリズム[ガウスの掃き出し法 (Gaussian elimination) という]について検証せよ。

Remark   階段行列は、さらに階段の各コーナーの成分が $1$ でさらに コーナーを含む列の他の成分はすべて 0 であるように 変形しなおすことができる。このような階段行列を 簡約された (reduced) と呼ぶことにする。

定義 6.2   $m\times n$ 行列 $A$ を階段行列に変形したときの 0 でない階段の数を行列 $A$ の階数 (rank) と呼び $r(A)$ と書く。 （ $r(A) \leq m$, $r(A)\leq n$ に注意。）

例題 6.3   階段行列への変形の具体例。

連立一次方程式（斉次型）の解法

階段行列に対しては、下の行から連立1次方程式を解いていく。 まず、$r$ 行の式から、$x_{j_r}$ を 変数 $x_{j_r + 1}, \dots, x_n$ の1次式で表すことができる。 次に、$r-1$ 行の式から、 $x_{j_{r-1}}$ を $x_{j_{r-1} + 1}, \dots, x_n$ で表すことができるが、 このうち $x_{j_r}$ は、 $x_{j_r + 1}, \dots, x_n$ で表されるので、 この段階で自由に選べる変数は、 $x_{j_{r-1} + 1}, \dots, x_{j_r - 1}$ の $j_r - j_{r-1} - 1$ 個。

以下、これを繰り返すと、 $x_{j_1},\dots, x_{j_r}$ をそれ以外の 変数について解いた式が得られる。

階段行列が簡約された形のときには、この議論は次のように簡単になる： ベクトル ${\overrightarrow x}$ の成分を 階段のコーナーとして現れる列成分 $x'$ とそれ以外の成分 $x''$ に分ければ、 考えている連立一次方程式は、$x'$ が $x''$ の一次式で表される、という 形になるので、$x''$ を任意定数として即座に解くことができる。

例題 6.4   ここで階段行列に対する連立１次方程式の解き方について 具体例で説明する。解の表示のさせ方。 （ここだけは、実際にやって見せないと、分かりづらい。 本で読むのは効率が悪いということ。）

問 19   各自、問題を自分で作り計算練習を行う。

$d$ 個の列ベクトル ${\overrightarrow x}_1,\cdots {\overrightarrow x}_d$ の間に１次式の関係がないとき、 すなわち、

$$\sum_{i=1}^d\lambda_i{\overrightarrow x}_i = 0$$

をみたすような数 $\lambda_1,\cdots,\lambda_d$ は、自明なもの以外にないとき、 ベクトルの集団 ${\overrightarrow x}_1,\cdots,{\overrightarrow x}_d$ は １次独立 (linearly independent) であると呼ぶ。

いま、行列 $A$ の階段行列への変形 $A'$ が一つ得られたとする。このとき $V$ に属するベクトルの集団 ${\overrightarrow x}_1,\cdots,{\overrightarrow x}_d$ ( $d = n-r(A)$) を 連立１次方程式 $A'{\overrightarrow x}= 0$ を解くことにより定めれば、これらは、 １次独立でかつ $V$ の勝手なベクトルは、 ${\overrightarrow x}_1,\cdots,{\overrightarrow x}_d$ の１次式で 書くことができる。一般に解空間 $V$ の中から選んだベクトルの集まり ${\overrightarrow x}_1,\cdots,{\overrightarrow x}_d$ が

1. １次独立である、
2. $V$ の勝手なベクトル ${\overrightarrow x}$ が ${\overrightarrow x}_1,\cdots,{\overrightarrow x}_d$ の１次式で書ける、

なる２条件を満たすとき、 その集団を解空間 $V$ の基底 (basis) と呼ぶ。 連立一次方程式が自明であるとき、すなわち $A = 0$ で、解空間 $V$ がすべてのベクトルから成るときは、$V$ を省略して 単に基底という言い方をする。

Remark   基底といった場合には、集団の順序をも問題にする。 従って、 ${\overrightarrow x}_1,{\overrightarrow x}_2,\cdots,{\overrightarrow x}_d$ と ${\overrightarrow x}_2,{\overrightarrow x}_1,\cdots,{\overrightarrow x}_d$ とは 別の基底と考える。

問 20   具体的な斉次型連立一次方程式の解空間について、その基底を求める。 （ベクトルを並べたものが基底なので、解の一般形を書いただけではだめである。）

命題 6.5   解空間の基底の個数と行列の階数の和は $n$ に等しい。

補題 6.6   $A$ を $m\times n$ 行列、$B$ を $n\times m$ 行列 とし、$AB = I_m$ とすると、$m \leq n$ である。

証明. 仮に、$m>n$ としよう。$B$ の階段行列への変形を考えれば、 $B{\overrightarrow x}= 0$ となる $m$ 次の列ベクトル ${\overrightarrow x}\not= 0$ が存在する。ところが、 $AB{\overrightarrow x}= I_m{\overrightarrow x}= {\overrightarrow x}$ だから矛盾。

[別解] $m>n$ と仮定する。行列 $A$ にサイズ $m$ の零列ベクトルを $m-n$ 個付け加えた $m\times m$ 行列を $A'$ とし、 行列 $B$ にサイズ $m$ の零行ベクトルを $m-n$ 個付け加えた $m\times m$ 行列を $B'$ で表せば、簡単な計算で $AB = A'B'$ であることがわかるので、

$$1 = \vert I_m\vert = \vert A'B'\vert = \vert A'\vert \vert B'\vert = 0$$

となって矛盾である。 $\qedsymbol$

定理 6.7    

1. 連立１次方程式 $A{\overrightarrow x}= 0$ の解空間には基底がかならず 存在する。
2. 解空間 $V$ の基底を構成するベクトルの個数は基底の選び方によらずに 一定である。
3. 行列の階数は、階段行列の作り方によらない。

証明. (i) はすでに見た。

(ii) を見るために ${\overrightarrow x}_1,\cdots,{\overrightarrow x}_r$, ${\overrightarrow y}_1,\cdots,{\overrightarrow y}_s$ を２組の基底と しよう。基底の２番目の性質により、

$${\overrightarrow x}_i = \sum_j b_{ji}{\overrightarrow y}_j, {\overrightarrow y}_j = \sum_ic_{ij}{\overrightarrow x}_i$$

と書ける。これらを相互に代入して基底の性質 (i) を使うと、

$$BC = I_s,\quad CB = I_r$$

という関係が得られる。ここで、例題を使えば、$r\leq s$, $s\leq r$, すなわち $r = s$ が得られた。

(iii) は、階段行列から基底が作られることおよび (ii) の主張より従う。 $\qedsymbol$

定義 6.8   解空間 $V$ の基底を形成するベクトルの個数を $V$ の次元 (dimension) とよび、記号 $\dim V$ で表す。

一般の（非斉次型）連立一次方程式

$$A{\overrightarrow x}= {\overrightarrow b}$$

を解くには、$m\times n$ 型行列 $A$ の最後の列に列ベクトル ${\overrightarrow b}$ を付け加えた $m\times (n+1)$ 行列 $B = ({\overrightarrow a}_1,\dots{\overrightarrow a}_n,{\overrightarrow b})$ を階段行列に変形し、それを $A$ の階段行列 への変形部分、すなわち最初の $n$ 列目までの部分、と見比べる。

• 階段の数が増えていれば（すなわち行列 $A$, $B$ の階数が違っていれば）、 解は存在しない。
• 階段の数が同じであれば、斉次方程式の場合と同様に、自由に選べる変数 を下の方から勝手に選んできて、段差のところの変数は方程式から決めていく という方法を繰り返すと、解が存在し、解の不定性の自由度が自由に選べる 変数の数（ $= n - r(A)$）だけあることもわかる。

問 21   具体例で上の方法を確認せよ。