つぎの行列を（行）基本操作により階段行列に変形してみよう。

$$A = \begin{pmatrix} 8 & 3 & -2 & 3\\ 2 & -3 & -3 & 2\\ 6 & -3 & -5 & 4 \end{pmatrix}$$

この行列の１列目はどの成分も０ではないので、 どれを「支点」(pivot という）に選んでもよいが、 後の計算で割り算をしないても済むように、１行目と２行目を入れ替えた

$$\begin{pmatrix} 2 & -3 & -3 & 2\\ 8 & 3 & -2 & 3\\ 6 & -3 & -5 & 4 \end{pmatrix}$$

に対して、１行１列目を支点にして、縦方向に「掃き出す」と、

$$\begin{pmatrix} 2 & -3 & -3 & 2\\ 8-4\times 2 & 3 -4\times(-3) &... ...in{pmatrix} 2 & -3 & -3 & 2\\ 0 & 15 & 10 & -5\\ 0 & 6 & 4 & -2 \end{pmatrix}$$

と変形できる。

ここで落ち着いて２行目と３行目をながめてみれば、共通の因子でくくれるので、 ２行目を５で、３行目を２でそれぞれ割れば、

$$\begin{pmatrix} 2 & -3 & -3 & 2\\ 0 & 3 & 2 & -1\\ 0 & 3 & 2 & -1 \end{pmatrix}$$

となる。 そこで、２行２列目を支点に縦方向に掃き出すと、

$$\begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 & 1\\ 0 & 3 & 2 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

を得る。

まとめると、連立１次方程式

$$A \begin{pmatrix} x\\ y\\ z\\ t \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}$$

の解空間 $V$ は、連立１次方程式

$$\begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 & 1\\ 0 & 3 & 2 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0... ...rix} x\\ y\\ s\\ t \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}$$

のそれと同一である。 この最後の連立方程式を処理するために、 階段の角にこない変数 $s$, $t$ をパラメータとし、 階段角の変数 $x$, $y$ について解けば、

$$x = \frac{s-t}{2}, \qquad y = \frac{t - 2s}{3}$$

となるので、$V$ に属するベクトルは、

$$\begin{pmatrix} x\\ y\\ s\\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix... ... 0 \end{pmatrix}+ \frac{t}{6} \begin{pmatrix} -3\\ 2\\ 0\\ 6 \end{pmatrix}$$

の形であることがわかる。 とくに、$V$ の基底として

$$\begin{pmatrix} 3\\ -4\\ 6\\ 0 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} -3\\ 2\\ 0\\ 6 \end{pmatrix}$$

をとることができ、$V$ は２次元である。

注意

変形の操作を、

$$\begin{pmatrix} 2 & -3 & -3 & 2\\ 8 & 3 & -2 & 3\\ 6 & -3 & -5 ... ...in{pmatrix} 2 & -3 & -3 & 2\\ 0 & 15 & 10 & -5\\ 0 & 6 & 4 & -2 \end{pmatrix}$$

などと書くのは差し支えないが、

$$\begin{pmatrix} 2 & -3 & -3 & 2\\ 8 & 3 & -2 & 3\\ 6 & -3 & -5 ... ...in{pmatrix} 2 & -3 & -3 & 2\\ 0 & 15 & 10 & -5\\ 0 & 6 & 4 & -2 \end{pmatrix}$$

のように等号で結んではいけない。 この２つの行列は等しくない！