行列式の幾何学的意味

平面の上のベクトル ${\overrightarrow a}$, ${\overrightarrow b}$ を考える。 $S({\overrightarrow a},{\overrightarrow b})$ で２つのベクトル ${\overrightarrow a}$, ${\overrightarrow b}$ から作られる平行４辺形の面積を表す。ただし、 ${\overrightarrow a}$, ${\overrightarrow b}$ が この順序で時計廻りの位置にあるときには、面積の値にマイナス符号をつけたもの を $S({\overrightarrow a},{\overrightarrow b})$ とする。平行４辺形の面積が平行変形で不変であることから

$$S({\overrightarrow a}+ \lambda {\overrightarrow b},{\overrig... ...rrow a},{\overrightarrow b}), \qquad \lambda \in \text{\ym R}$$

等が成り立つ。

これから $S$ の（多重）線型性が出てくる：

$$S({\overrightarrow a}+ {\overrightarrow c},{\overrightarrow b}) = S({\overrightarrow a}+ \alpha{\overrightarrow a}+ \beta{\overri... ... a},{\overrightarrow b}) = (1+\alpha)S({\overrightarrow a},{\overrightarrow b})$$

$$= S({\overrightarrow a},{\overrightarrow b}) + S(\alpha{\overrigh... ...ightarrow a},{\overrightarrow b}) + S({\overrightarrow c},{\overrightarrow b}).$$

また定義から $S$ は交代性をもつ。従って基本定理により

$$S({\overrightarrow a},{\overrightarrow b}) = \det({\overrightarro... ...w e}_1,{\overrightarrow e}_2) = \det({\overrightarrow a},{\overrightarrow b}).$$

すなわち２次の行列式は平行４辺形の符号つき面積を表す。 同様の考察により ３次の行列式は平行６面体の符号つき体積を表す。

問 17   体積の符号はどのように決めるべきか、考察する。 （ヒント：右手系と左手系。）