補題 7.1
![$D$](img448.png)
が
![$S^{2}$](img130.png)
の可算部分集合
ならば,
![$S^{2}$](img130.png)
と
![$S^{2}
\setminus D$](img449.png)
は
![$SO_{3}$](img450.png)
-分割合同.
証明
まず,
![$SO_{3}$](img450.png)
の元
![$g$](img116.png)
で,
![$D$](img448.png)
,
![$g(D)$](img477.png)
,
![$g^{2}(D)$](img478.png)
,
![$\cdots $](img4.png)
が互いに交わらないように出来ることを示す.
与えられた回転軸
![$l$](img479.png)
のまわりの回転
![$g$](img116.png)
について考える。
ある
![$g^{m}(D)$](img480.png)
と
![$g^{n}(D)$](img481.png)
とが交わるとき,
すなわち
![$g^{m}(D)\ \cap \ g^{n}(D)\ \neq \emptyset \\
\quad \bigl(m \neq n\bigr)$](img482.png)
となるとき,
![$g^{m} ( x_{i} )= g^{n}(x_{j})$](img483.png)
となる
ような
![$D$](img448.png)
の元
![$x_{i\ },x_{j}$](img484.png)
が
存在することになる. この
式より,
![$g^{m-n}(x_{i})=x_{j}$](img485.png)
となる.
ここで,
![$g$](img116.png)
の
回転角を
![$\bigl(\ 0<\theta <2\pi \ \bigr)$](img487.png)
と
して,
![$\bigl(\ 0<\theta _{ij}<2\pi ,\ Oは\\
\quad 原点\ \bigr)$](img489.png)
とおくと,
![$1$](img5.png)
回につき
![$\theta $](img486.png)
の回転を
![$(m-n)$](img490.png)
回行うと, 点
![$x_{i}$](img491.png)
から
点
![$x_{j}$](img492.png)
に移動するという事だから,
![$(m-n)\ \theta
=\theta _{ij}$](img493.png)
となり, これより,
が成り立つ. よって, このような角度の集合
を除いた角度であれば, 互いに交わらないように
することが出来る.
![$g$](img116.png)
の
回転角
![$\theta $](img486.png)
を,
![$\theta \in (0,\ 2\pi )\setminus Y$](img496.png)
とする.
![$Y$](img497.png)
は可算集合なので,
![$(0,\ 2\pi )\setminus Y\neq \emptyset$](img498.png)
となる.
よって, このような
![$\theta $](img486.png)
は存在する. このとき,
とおく. すると,
![$S^{2}
=A_{1}\bigsqcup A_{2}$](img500.png)
となる. また,
![$B_{1}\cup B_{2}=S^{2}
\backslash D$](img501.png)
であり,
![$g(A_{1})\subset A_{1}$](img502.png)
より,
![$B_{1} \cap B_{2} =
\emptyset$](img503.png)
となるから,
![$S^{2}\setminus D=B_{1}\bigsqcup B_{2}$](img504.png)
と
なる.
ここで,
![$B_{1}=g(A_{1})\ ,\ B_{2}=A_{2}$](img505.png)
だか
ら, 分割合同の定義より,
を得る.