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補題 4.1
群
![$G$](img16.png)
が
![$X$](img56.png)
に作用しているとき,
![$X$](img56.png)
の部分集合
![$E$](img259.png)
,
![$E'$](img267.png)
に
ついて,
![$E\sim _{G}E'$](img268.png)
かつ
![$E$](img259.png)
が
![$G$](img16.png)
-逆説的で
あれば,
![$E'$](img267.png)
も
![$G$](img16.png)
-逆説的である.
証明
かつ
とする.
を
補題6.1
i
の全単射
とすると,
であり,
であるから,
となって,
は
-逆説的で
ある.
補題 4.2
![$G$](img16.png)
-空間
![$X$](img56.png)
の部分集合
![$A,\ E$](img274.png)
に
ついて,
![$E = g_1 A_1 \cup \cdots \cup g_n A_n \ \
\bigl(\ g_i \in G\ \bigr)$](img276.png)
であるとき,
![$E \preceq _G A$](img277.png)
が
成り立つ.
証明
![$A_k' = g_k^{-1}\bigl(g_k A_k \setminus
(g_1 A_1 \cup \cdots \cup g_{k-1} A_{k-1\ })\bigr)
\quad (\ k=1,\cdots ,n\ \bigr)$](img278.png)
とおくと,
![$A_k' \subset A_{k\ },
A' = \displaystyle \bigsqcup _k A_k'\ ,A' \subset A $](img279.png)
である.
また,
![$E = \displaystyle \bigsqcup _k g_k A_k' $](img280.png)
で
あるから,
![$E \sim _G A' \subset A$](img281.png)
となる.
よって,
![$E \preceq _G A$](img277.png)
である.
定理4.2
群
が集合
に作用しているとする.
の部分集合
が弱い意
味で
-逆説的であるとき,
かつ
であるような
互いに素な部分集合
が存在する.
すなわち
は
-逆説的である.
証明
となる
の部分集合列で、
と書けるものが存在する。
そこで、
とおくと、補題
より
.
一方、
より、
であるので、
ベルンシュタインの定理により
.
次に、
とおくと、再び
補題
より
これと、
から明らかである
とを併せると、
ベルンシュタインの定理により
であるとわかる。
系4.2
群
が
に作用しているとし,
が
-逆説的で
あるとき, 勝手な
自然数
に対して
![$A_1 \sqcup \cdots \sqcup A_n = E$](img299.png)
か
つ
であるような
が存在する.
証明
- heenumi ).
-
のとき
かつ
であるような
が存在する
ことは, 定義より明らかである.
- heenumi ).
-
のとき, 系4.2が成り立つと仮定すると
かつ
のとき
及び
を使って
となるものを作る.
そして,
とおくと,
は
となり, また,
より
となる.
よって,
のときも成り立つ.
i), ii)より, この系は成り立つ.
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Yamagami Shigeru
平成15年2月14日