逆説的群の定義と性質

定義 6.1   $G$の左正則作用により$G$が$G$-逆説的であるとき, $G$を 逆説的群
という.

注意 6.1   定理$\ref{F}$ により, 自由群は逆説的群である.

次の定理6.2を証明するために, 選択公理が必要となる.

定理 6.1   逆説的群$G$が集合$X$に自由に作用すれば, $X$は$G$-逆説的である.

証明
    仮定より, $G=A_1\sqcup \cdots \sqcup A_m \sqcup B_1\sqcup \cdots \sqcup B_{n\ },\ g_{1},\cdots ,g_{m},h_{1},\cdots ,h_{n}\in G$
    で

$G= \displaystyle \bigsqcup _{i=1}^{m} g_{i}A_{i}= \displaystyle \bigsqcup_{j=1}^{n} h_{j}B_{j}$

    となるものが存在する.
    選択公理より, $X$の$G$-軌道の 代表系$M \subset X$を選びとる. すなわち, 勝手
    な$G$-軌道$O$に対して $M \cap O=\{$一つの元$\}$が成立する.
    $G$は$X$に自由に作用するから, $\bigl\{g(M)\ ;\ g \in G\ \bigr\}$ は$X$の分割である.
    よって, $X= \displaystyle \bigsqcup _{g \in G}gM$が成立する.
    そこで $A_{i}'=\displaystyle \bigsqcup_{g \in A_{i}}gM\ ,\ B_{j}'= \displaystyle \bigsqcup_{h \in B_{j}}hM$ とおくと, $\bigl\{A_{i\ }'\bigr\} =\bigl(\ A_{1\ }',\ \cdots \ ,A_{m\ }'\bigr)$
    および $\bigl\{B_{j\ }'\bigr\} =\bigl(\ B_{1\ }',\ \cdots \ ,B_{n\ }' \bigr)$ は互いに素な$X$の部分集合で あり,
     $X = \displaystyle \bigsqcup_{i=1}^{m }g_{i}A_{i}' =\displaystyle \bigsqcup_{j=1}^{n} h_{j}B_{j}'$ となる から, $X$は$G$-逆説的である. $_□$

    定理6.2より次のことが導かれる.

系6.2.1 $H$が逆説的群で, 群$G$が$H$を部分群として含む ならば, $G$は逆説
的である.

証明
    部分群$H$の$G$への左作用は自由な作用である.
    定理6.2より, $G$が$H$-逆説的であるから, $g_1,\cdots,g_m,h_1,\cdots,h_n \in H \subset G$
    が存在し,互いに 交わらない, $A_1,\cdots,A_m,B_1,\cdots,B_n \subseteq G$ で,
     $G=\displaystyle \bigcup _{i = 1}^{m} g_i A_i = \bigcup _{j = 1}^{n} h_j B_j$ が存在する.
    よって $G$-逆説的でもある. $_□$


系6.2.2 階数$2$の自由群 $(つまりF_{2\ })$を部分群として含む群$F$は 逆説的で
ある.

証明
    定理5.1より自由群は逆説的である.
    系6.2.1 において, $H$を階数$2$の自由群, $G$を群$F$とおけば, 明らか. $_□$