行列の対角化

行列 $D$ で次の形のものを対角行列 (diagonal matrix) とよぶ。

$$D = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \dots\\ 0 & \lambda_2 & \dots\\ 0 & 0 & \ddots \end{pmatrix}.$$

与えられた $n\times n$ 行列 $A$ に対して、逆をもつ行列 $P$ を適当に選んで $P^{-1}AP$ が対角行列になるようにする操作を行列の対角化 (diagonalization) と呼ぶ。 対角化の直接の御利益は冪の計算が簡単になること。

対角化の行列を見つけるために、$P$ を縦割りにして $P = ({\overrightarrow x}_1, \dots {\overrightarrow x}_n)$ と表すと、 $AP = PD$ という関係は

$$A {\overrightarrow x}_j = \lambda_j {\overrightarrow x}_j, \qquad j=1, \dots n$$

となる。 そこで、行列 $A$ に対して、ベクトル ${\overrightarrow x}\not= 0$ が

$$A{\overrightarrow x}= \lambda {\overrightarrow x}$$

なる関係をみたすとき、 ${\overrightarrow x}$ を固有値 (eigenvalue) $\lambda$ の 固有ベクトル (eigenvector) とよぶ。

定理 8.1   行列 $A$ の固有値 $\lambda$ は方程式（固有方程式, eigenequation, という）

$$\vert tI_n - A\vert = 0$$

の解である（左辺を固有多項式という）。

証明. 定理 7.4 による。 $\qedsymbol$

命題 8.2   行列 $A$ の固有多項式 $f_A(t) = \vert tI_n - A \vert$ は、

$$f_A(t) = t^n - (a_{11} + \dots + a_{nn})t^{n-1} + \dots + (-1)^n \vert A\vert$$

という形の $t$ の $n$ 次式であり、相似変形で不変である。

$$\vert tI_n - P^{-1}AP \vert = \vert tI_n - A \vert.$$

証明. 行列式の完全展開式

$$\vert B\vert = \sum_{\sigma} \epsilon(\sigma) b_{\sigma(1),1} \dots b_{\sigma(n),n}, \qquad B = tI_n - A$$

で、$t$ が含まれる因子は対角成分 $b_{11}, \dots, b_{nn}$ のみであるから、 一箇所でも対角成分でない因子が現れると、その項には他にも対角成分から はずれる因子が現れることになり、そのような項に含まれる $t$ の次数は $n-2$ 以下になる。従って、 $\vert tI_n - A\vert$ の中の $t^n$, $t^{n-1}$ の係数は 対角成分の積

$$(t-a_{11})(t-a_{22}) \dots (t-a_{nn}) = t^n - (a_{11} + \dots + a_{nn})t^{n-1} + \dots$$

の中に含まれるそれと一致する。 $\qedsymbol$

定義 8.3   行列 $A$ の固有値 $\lambda_1,\dots, \lambda_r$ を使って、 固有多項式を

$$\vert tI_n - A \vert = (t-\lambda_1)^{m_1} \dots (t-\lambda_r)^{m_r}$$

と因数分解するとき、$m_j$ を固有値 $\lambda_j$ の重複度 (multiplicity) という。

定義 8.4   行列 $A$ の固有値 $\lambda$ に対して連立１次方程式 $(\lambda I_n - A){\overrightarrow x}= 0$ の解空間を固有値 $\lambda$ の固有空間 (eqigenspace) と呼び $V_{\lambda}$ と書くことにする。

命題 8.5   行列 $A$ の固有値 $\lambda$ に対して、固有空間 $V_\lambda$ の次元は、 $\lambda$ の重複度以下である。

証明. 固有空間 $V_\lambda$ の基底を補って全体の基底を作り、行列 $A$ の 相似変形を行うと分解型の行列が得られるので、行列式の因子分解式を使う。 $\qedsymbol$

定理 8.6   行列 $A$ の異なる固有値全てに名前をつけて $\{\lambda_1,\cdots,\lambda_r\}$ とする。 固有値 $\lambda_i$ の固有空間の次元を $d_i$、 その重複度を $m_i$ で表す。 このとき $A$ が対角化可能であるための必要十分条件は、 $d_i = m_i$ for $1\leq i \leq r$.

証明. 対角化できれば、固有ベクトルからなる基底が存在するから、

$$n\leq \sum_{i=1}^r d_i$$

これと $d_i \leq m_i$ および $\sum_i m_i = n$ と併せて、 等号の成立がわかる。

逆に、等号がなりたつとする。 $\{{\overrightarrow x}^{(i)}_j\}_{1\leq j\leq d_i}$ を固有空間 $S_i$ の基底とする。 これらを一列に並べると、等号成立の仮定から、$n$ 個のベクトルの集団が 得られる。そこで、あとはこれが１次独立であることを言えばよい。 そのためには次の補題を使えばよい。 $\qedsymbol$

補題 8.7   異なる固有値に属する固有ベクトルは、互いに１次独立である。

証明. $\lambda_1,\dots, \lambda_r$ を異なる固有値とし、 ${\overrightarrow x}_1,\dots, {\overrightarrow x}_r$ を対応する固有ベクトルとする。もし、

$${\overrightarrow x}_1 + \dots + {\overrightarrow x}_r = 0$$

が成り立てば、 ${\overrightarrow x}_1 = \dots {\overrightarrow x}_r = 0$ である。 実際、 $(A-\lambda_1)\dots(A-\lambda_{r-1})$ をかけると、

$$0 = (A-\lambda_1)\dots(A-\lambda_{r-1}){\overrightarrow x}_r = (\lambda_r - \lambda_1)\dots(\lambda_r - \lambda_{r-1}) {\overrightarrow x}_r$$

から、 ${\overrightarrow x}_r = 0$ がわかる。 $\qedsymbol$

対角化の手続き

ステップ１

固有方程式を解くことにより、固有値を求めると共に固有値の重複度を調べる。

ステップ２

固有空間を連立一次方程式の解空間として実現し、 あわせて、固有空間の基底を求める。

ステップ３

ステップ２で求めた固有空間の次元とステップ１で求めた重複度が一致しない 固有値が一つでもあれば、扱っている行列が対角化できない。

そうでなければ、すなわち、全ての固有値に対して、固有空間の次元と重複度が 一致しているならば、各固有空間の基底をすべて並べることにより全体の基底 を得るので、対応する行列を

$$P = ({\overrightarrow x}_1,\dots,{\overrightarrow x}_n), \qquad {\overrightarrow x}_j = \lambda_j {\overrightarrow x}_j$$

とおけば、

$$P^{-1}AP = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \dots\\ 0 & \lambda_2 & \dots\\ 0 & 0 & \ddots \end{pmatrix}$$

という形の対角化を得る。

行列の対角化の手続きで最も面倒な部分は、固有方程式を解く（固有値を求める） 部分である。行列のサイズが３以上の場合は、でたらめに選んだ行列に対してその 固有方程式は具体的には解きがたい。

よく本とかに載っている対角化の問題は、ではどうやって作るのかと言えば、 固有値と固有ベクトルを最初に与えてそれから、対角化する前の行列を 逆算するという「ずるい」方法を取らざるを得ない。

例題 8.8   与えられた固有値と固有ベクトルから、もとの行列を復元し、 復元した行列から逆に、上で述べた対角化の手続きに従って、 対角化を実行してみよう。

$$\begin{pmatrix} 2 & -2 & -1\\ -2 & 3 & 1\\ -1 & 0 & 1 \end{pmat... ...2c\\ -6a+3b+3c & -4a+3b+2c & -2a+2c\\ -3a+3c & -2a+2c & -a+2c \end{pmatrix}.$$

問 26    

1. 上の例で、$a$, $b$, $c$ に色々な値を代入して対角化の手続きを確認する。
2. 行列 $T$ およびその逆行列 $T^{-1}$ の成分が全て整数となるような 行列はどのようにして作り出せるか考えてみる。 （ヒント：基本行列の場合に考察してみる。）

２行２列の行列については、固有方程式が２次方程式になることも あって、全てのことを完全に記述することが可能である。 例えば、

$$A = \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}$$

と置いて、その対角可能性について調べてみよう。

まず固有方程式は、

$$\begin{vmatrix} t - a & -b\\ -c & t - d \end{vmatrix}= t^2 - (a+d)t + ad - bc = 0$$

となるので、これが異なる二つの解をもてば対角化可能となる （何故か）。

そこで対角化できない可能性のあるのは、重根 (multiple root）をもつ場合、 すなわち

$$(a+d)^2 - 4(ad-bc) = (a-d)^2 + 4bc =0$$

でなければならない。 このとき $A$ の固有値は、 $\lambda = (a+d)/2$ のただ一つである。 したがってこのような行列が対角化できるのは、

$$A = P \begin{pmatrix} \lambda & 0\\ 0 & \lambda \end{pmatrix}P^{-1} = \lambda I_2$$

の場合、すなわち、$a=d$, $b=c=0$ のときに限る。

まとめると、$2\times 2$ 行列 $A$ が対角化できるための必要十分条件は、 (i) $A$ が単位行列のスカラー倍であるかまたは (ii) $(a-d)^2 + 4bc \not= 0$、である。

例題 8.9   行列

$$\begin{pmatrix} a & b\\ -b & a+2b \end{pmatrix}$$

は、$b \not= 0$ であれば、対角化できない。

問 27   上の例題で与えた行列の固有値と固有ベクトルを求めよ。

対角化の具体的応用例では、上で述べたような対角化そのものよりも、 固有値を固有ベクトルを求めたあとは、問題になっているベクトルを固有ベクトル の和で表すだけで済むことが多い。

という状況を考えて、質点１の変位を $x$ で、質点２の変位を $y$ で表し、 それぞれのばねのばね定数を $a$, $b$, $c$ とすれば、運動方程式は、

$$\frac{d^2}{dt^2} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -a-b & b\\ b & -b-c \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$$

となる。そこで、右辺の行列の固有ベクトル

$$\begin{pmatrix} -a-b & b\\ b & -b-c \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u\\ v \end{pmatrix}= \lambda \begin{pmatrix} u\\ v \end{pmatrix}$$

が見つかれば、

$$\begin{pmatrix} x(t\\ y(t) \end{pmatrix}= f(t) \begin{pmatrix} u\\ v \end{pmatrix}$$

と置くことにより、

$$\frac{d^2}{dt^2} f = \lambda f(t)$$

に帰着する。

問 28   三つのばね定数が共通の値 $k$ に近いとき、すなわち $\alpha = a - k$, $\beta = b-k$, $\gamma = c-k$ が微小量であるとき、 行列

$$\begin{pmatrix} -a-b & b\\ b & -b-c \end{pmatrix}$$

の固有値と固有ベクトルを求めよ。