逆行列と基底

$n\times n$ 行列 $A$ に対して

$$AB = BA = I_n$$

となる $n\times n$ 行列 $B$ を $A$ の逆行列 (inverse matrix) という。 $A$ の逆行列は、あっても一つしかない。仮に、 $AC = CA = I_n$ であれば、

$$B = I_nB = CAB = CI_n = C$$

である。 逆行列は $A$ だけで決まるので $A^{-1}$ と書く。

例題 7.1    

1. 積の逆行列。 $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$.
2. 積の転置行列。 ${}^t(AB) = {}^tB {}^tA$.
3. 転置と逆行列。 ${}^t(A^{-1}) = ({}^tA)^{-1}$.

問 22   上の３つを確かめよ。 （そろそろ、こういったことは一人でチェックできなくてはいけない。）

例題 7.2   基本変形を与える行列の逆行列。

$A$ が逆行列をもてば $\vert A\vert\,\vert B\vert = \vert AB\vert = \vert I_n\vert = 1$ から $\vert A\vert \not= 0$ が出てくる。 逆に $\vert A\vert \not= 0$ としよう。$A_{ij}$ で $A$ から $i$ 行 $j$ 列を除いた $n-1$ 次の行列を表すと、$j$ 行に関する展開式により

$$\sum_k (-1)^{j+k}x_k\vert A_{jk}\vert$$

は $A$ の $j$ 行目をベクトル $(x_1,\cdots,x_n)$ で置き換えた行列の行列式 に等しい。したがって、

$$\sum_k (-1)^{j+k}a_{ik}\vert A_{jk}\vert = \delta_{ij} \vert A\vert.$$

同じように $j$ 列に関する展開式を使えば、

$$\sum_k (-1)^{j+k}a_{ki}\vert A_{kj}\vert = \delta_{ij} \vert A\vert.$$

そこで $n\times n$ 行列を $C = ((-1)^{i+j}\vert A_{ji}\vert)$ で定めれば、 上の２つの式は

$$AC = CA = \vert A\vert E_n$$

となるので、$\vert A\vert^{-1}C$ が $A$ の逆行列になっている。

これはクラメールの公式 (Cramer's rule) と呼ばれ有名であるが、 以下では使わない。

補題 7.3   $\{{\overrightarrow x}_1,\cdots,{\overrightarrow x}_m\}$ を１次独立なベクトルの集まりと するとき、これにベクトルを補って基底にすることができる。

証明. 標準基底 $\{ {\overrightarrow e}_1,\dots, {\overrightarrow e}_n \}$ の中のベクトルで、 ${\overrightarrow x}_1,\dots,{\overrightarrow x}_m$ の一次式で書けないものが有ったときには、その書けない ベクトルを ${\overrightarrow x}_{m+1}$ とおくと、 $\{ {\overrightarrow x}_1,\dots,{\overrightarrow x}_m, {\overrightarrow x}_{m+1} \}$ は一次独立である。実際、

$$t_1 {\overrightarrow x}_1 + \dots + t_m{\overrightarrow x}_m + t_{m+1} {\overrightarrow x}_{m+1} = 0$$

として、もし $t_{m+1} \not= 0$ であれば、

$${\overrightarrow x}_{m+1} = \frac{t_1}{t_{m+1}} {\overrightarrow x}_1 + \dots + \frac{t_m}{t_{m+1}} {\overrightarrow x}_m$$

となって、$vx_{m+1}$ が $\{ {\overrightarrow x}_1,\dots, {\overrightarrow x}_m \}$ の一次式で 書き表せるので仮定に反する。したがって、 $t_{m+1} = 0$ となって、

$$t_1 {\overrightarrow x}_1 + \dots +　t_m {\overrightarrow x}_m = 0$$

が得られるので、 $\{ {\overrightarrow x}_1,\dots, {\overrightarrow x}_m \}$ が一次独立であることから、

$$t_1 = \dots = t_m = 0$$

となって、 $\{ {\overrightarrow x}_1,\dots,{\overrightarrow x}_m, {\overrightarrow x}_{m+1} \}$ の一次独立性が示された。

この議論を繰り返すと、最終的に一次独立なベクトルの集団 $\{ {\overrightarrow x}_1, \dots, {\overrightarrow x}_l \}$ で、全ての ${\overrightarrow e}_j$ が これらの一次式で表されるものが出現する。 任意のベクトルは標準基底の一次式で書き表されるので、 $\{ {\overrightarrow x}_1, \dots, {\overrightarrow x}_l \}$ の一次式で全てのベクトルが表示できる。 すなわち、 $\{ {\overrightarrow x}_1, \dots, {\overrightarrow x}_l \}$ は基底である。 $\qedsymbol$

定理 7.4 (行列の基本定理)   次は同値。

1. $A$ は逆行列をもたない。
2. $\vert A\vert = 0$.
3. $A{\overrightarrow x}= 0$ となるベクトル ${\overrightarrow x}\not= \overrightarrow 0$ がある。

証明. (i) $\iff$ (ii) はすでにやった。(iii) $\Rightarrow$ (i) は 明らか。

そこで、(ii) $\Rightarrow$ (iii) を示す。 そのために (iii) の条件をもう少し 詳しく調べる。具体的には、連立１次方程式 $A{\overrightarrow x}= \overrightarrow 0$ を 解いてみる。

ベクトル ${\overrightarrow x}$ に対して、

$$A{\overrightarrow x}= 0 \iff B{\overrightarrow x}= 0 \iff C{\overrightarrow x}= 0.$$

ここで、$B$ は $A$ の２つの行を入れ替えた行列。$C$ は $A$ のどこかの行に 別の行の定数倍を加えたもの。したがって連立１次方程式 $A{\overrightarrow x}= 0$ の解は、 行列 $A$ に次の２種類の操作を繰り返し施して行列の形を変えていっても 変化しない。 この２種類の操作は、 $A$ に左から特殊な行列（行基本行列）を掛けることによって も得られ、変形のどの段階でも行列式の値は 0 であり続ける。 従って変形によって得られた階段行列 $A'$ も $\vert A'\vert = 0$ をみたす。 階段行列は三角行列の形になっているので、$\vert A'\vert = 0$ であるためには、 対角成分が 0 となる個所があることになり、 階段の段数は $n$ よりも小さくなって、 解空間は自明でないベクトル ${\overrightarrow x}$ を含まなければならない。

[別解] (iii) の否定を仮定すると、 $\{ {\overrightarrow a}_1,\dots, {\overrightarrow a}_n \}$ は一次独立で、 従って基底となる。もし、基底でなければ基底を成すベクトルの個数が $n$ を越えてしまう。 そこで、基本ベクトル ${\overrightarrow e}_1, \dots, {\overrightarrow e}_n$ を ${\overrightarrow a}_1, \dots, {\overrightarrow a}_n$ の一次結合として表せば、その係数行列 $B$ は、 $BA = I_n$ を充たし、したがって $\vert A\vert \not= 0$ となって (ii) の否定が 得られた。

以上により (i), (ii), (iii) の同値性が得られた。 $\qedsymbol$

系 7.5   行列 $A$ の列ベクトルの集団 $\{ {\overrightarrow a}_1,\dots, {\overrightarrow a}_n \}$ が基底となる ための必要十分条件は、$A$ が逆行列をもつことである。

問 23   行列

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ t & 1 & 0\\ 1 & t & 1 \end{pmatrix}$$

が逆行列をもたないとき、$t$ の値を求めよ。

問 24   ３次元数ベクトル空間で、ベクトル

$$\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}$$

を含む基底を１組作れ。

問 25   逆をもつ行列は、行基本行列の有限個の積で書ける。 列基本行列の有限個の積でも書ける。