記号の準備

「バナッハ・タルスキーのパラドックス」を証明する上で用いる主な 記号と, その意味を以下に記す.


: 自然数全体
: 有理数全体
: 実数全体
: 複素数全体
$\hbox{\ym R}^2$ : ユークリッド平面
$\hbox{\ym R}^3$ : ユークリッド空間

$$\begin{array}{ll} \quad S^1:{円周} & \cdots \ {円周とは},\... ...extit{\hbox{\ym R}}^3{の部分集合のことである.}\\ \end{array}$$

    ここで, $\Vert x\Vert$は原点から$x$までの距離を表す. また, 半径 $r$を強調したい
場合は $B_r^3$ や $B^3(r)$と表す. 例えば, 半径$5$の 球面は $B_5^3$ や $B^3(5)$と表す.

$SO_2$ : $2$次の回転群
$SO_3$ : $3$次の回転群
$M_2$ : $2$次の運動群
$M_3$ : $3$次の運動群

            $\bigl(\to$ 回転群, 運動群については 「 $2.2$ 回転群と運動群 」を参照！$\bigr)$

$F_2$ : $2$つの生成元からなる自由群
            $\bigl(\to$ 自由群については 「 $5.2$ 自由群の定義 」を参照！$\bigr)$


    以下では, $A,\ B,\ C,\ D,\ E,\ M,\ X$は 主に集合を, $G,\ H$は主に
群を表すこととする. さらに, $K,\ L$は球を表すこととする.