自由群の逆説性

定理 5.1   ${\rm 2}$つの生成元$\sigma$, $\tau$からなる自由群$F_{2}$は$F_{2}$自身への左作用により
$F_{2}$-逆説的である.

証明
    自由群$F_2$の部分集合を

                 $B(\sigma)\ =\bigl\{$ $\sigma$で 始まる被約語$($reduced word$)$の全体 $\bigr\}$
                 $=\bigl\{\ \sigma,\ \sigma \tau^{-1},\ \sigma \tau \ \cdots\ \bigr\}$

    のようにおくと, $F_{2}$は

     $F_{2}=\{e\}\sqcup B(\sigma ) \sqcup B(\sigma^{-1})\sqcup B(\tau )\sqcup B (\tau^{-1})$ $\bigl($互いに素$\bigr)$

    と表すことができる.ここで

                 $B(\sigma^{-1}) =\bigl\{\ \sigma^{-1},\ \sigma^{-1}\tau,\ \sigma^{-1}\tau^{-1},\ \sigma^{-1}\sigma^{-1},\ \cdots \ \bigr\}$

    であるから

                 $\sigma B (\sigma^{-1})=\bigl\{\ e,\ \tau,\ \tau^{-1},\ \sigma^{-1},\ \cdots \ \bigr\}$
                 $=\{e \} \cup B( \sigma^{-1} ) \cup B ( \tau ) \cup B( \tau^{-1} )$

    となる.よって

     $F_{2}= B( \sigma) \sqcup \sigma B( \sigma^{-1})$         $\cdots (1)$

    同様に、$F_{2}$は

$F_{2}=B(\tau) \sqcup \tau B( \tau^{-1})$         $\cdots (2)$

    (1), (2)より $F_{2}=B(\sigma )\sqcup \sigma B(\sigma^{-1}) =B(\tau)\sqcup \tau B(\tau^{-1})$ .
    これは$F_{2}$が左正則作用により$F_{2}$-逆説的であることを 意味している. すなわち,

     $F_2\sim _{F_2}X\sim _{F_2}Y \ \ \ \ \bigl(\ X=B(\sigma )\sqcup B(\sigma ^{-1}) \ ,\ Y=B(\tau )\sqcup B(\tau ^{-1})\ \bigr)$

    である. $_□$