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2次・3次の行列式

2元連立1次方程式

$\displaystyle ax + by = s,\quad cx + dy = t
$

を行列の積を使って書けば、

$\displaystyle \begin{pmatrix}
a & b\\ c & d
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}x\\ y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}s\\ t\end{pmatrix}.
$

これを $ x$, $ y$ について解けば

$\displaystyle x = \frac{sd - tb}{ad - bc},\quad y = \frac{at - cs}{ad - bc}.
$

問 5   この公式を導け。 (この公式は、覚えるものではなく導くものである。)


この共通に現われる分母の式を行列 $ A = \begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}$行列式 (determinant、意味は「決定式」) といい、

$\displaystyle \det(A) = \vert A\vert = \begin{vmatrix}a & b\\ c & d\end{vmatrix}$

と書く。この記号を使えば上で与えた解の公式は

$\displaystyle \begin{vmatrix}a & b\\ c & d\end{vmatrix}
x =
\begin{vmatrix}s ...
...trix}a & b\\ c & d\end{vmatrix}
y =
\begin{vmatrix}a & s\\ c & t\end{vmatrix}$

となる。

行列 $ A$ を縦割にして $ A = (\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ と書く。すなわち、

$\displaystyle \overrightarrow{u} =
\begin{pmatrix}
a\\ c
\end{pmatrix},
\qquad
\overrightarrow{v} =
\begin{pmatrix}
b\\ d
\end{pmatrix}.
$

このとき、次の関係が成り立つ。

  1. 線型性 (linearity):

    $\displaystyle \det (a \overrightarrow{u} + b\overrightarrow{u}',\overrightarrow...
...arrow{u},\overrightarrow{v}) +
b\det (\overrightarrow{u}',\overrightarrow{v}).
$

  2. 交代性 (alternating property):

    $\displaystyle \det(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})
= - \det(\overrightarrow{v}, \overrightarrow{u}).
$

  3. 規格化条件 (normalization condition):

    $\displaystyle \begin{vmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{vmatrix} = 1.
$

問 6   上の性質を確認する。 面倒くさがってはいけない。こういう地道な作業を行うかどうかで、 今後の理解度が大きく異なってくる。

「あとで」と言わずに今すぐチェック。


一般化

$\displaystyle a_1x + b_1y + c_1z$ $\displaystyle = t_1 \tag1$    
$\displaystyle a_2x + b_2y + c_2z$ $\displaystyle = t_2 \tag2$    
$\displaystyle a_3x + b_3y + c_3z$ $\displaystyle = t_3 \tag3$    

未知数 $ x$ を定数とみて第2、3式を $ y$, $ z$ について解くと

$\displaystyle \begin{vmatrix}b_2 & c_2\\ b_3 & c_3\end{vmatrix} y = \begin{vmat...
...\ t_3 & c_3\end{vmatrix} - \begin{vmatrix}a_2 & c_2\\ a_3 & c_3\end{vmatrix} x,$ (4)

$\displaystyle \begin{vmatrix}b_2 & c_2\\ b_3 & c_3\end{vmatrix} z = \begin{vmat...
...\ b_3 & t_3\end{vmatrix} - \begin{vmatrix}b_2 & a_2\\ b_3 & a_3\end{vmatrix} x.$ (5)

そこで、(1) 式を $ \begin{vmatrix}b_2 & c_2\\ b_3 & c_3\end{vmatrix}$ 倍して、(4), (5) 式を代入すると

$\displaystyle \left(
a_1\begin{vmatrix}b_2 & c_2\\ b_3 & c_3\end{vmatrix}
- b...
...3 & c_3\end{vmatrix}
+ c_1 \begin{vmatrix}t_2 & b_2\\ t_3 & b_3\end{vmatrix}.
$

この両辺には同じ形の式が現れるので、3次の行列式

$\displaystyle \begin{vmatrix}
a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2\\ a_3 & b_3 & c...
..._3 & c_3\end{vmatrix}
+ c_1\begin{vmatrix}a_2 & b_2\\ a_3 & b_3\end{vmatrix}
$

で定義する。(1行目に関する展開。) そうすると、上で求めた連立方程式の解の公式は、

$\displaystyle \begin{vmatrix}
a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2\\ a_3 & b_3 & c...
...egin{vmatrix}
t_1 & b_1 & c_1\\ t_2 & b_2 & c_2\\ t_3 & b_3 & c_3
\end{vmatrix}$

などとなる。

3次の行列式の性質。

  1. 線型性:行列式 $ \det(\overrightarrow a, \overrightarrow b,
\overrightarrow c)$ は各ベクトルについて、1次式の性質を持つ。
  2. 交代性: $ \overrightarrow a$, $ \overrightarrow b$, $ \overrightarrow c$ のうち2つのベクトルを入れ替えると行列式の値にマイナス符号がつく。
  3. 規格化条件:

    $\displaystyle \begin{vmatrix}
1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1
\end{vmatrix}
= 1.
$

問 7   未知数 $ y$, $ z$ を3次の行列式を使って表す公式を導け。

問 8   3次の行列式についても上の性質を確認する。 これも面倒くさがってはいけない。 「あとで」は禁物である。




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Yamagami Shigeru 平成14年12月23日