試験・成績評価についての注意：授業時間を試験に当て（３−４回）、 評価の方法は解析学 I に準ずる。
授業内容の一部変更：冪級数の扱いを、複素解析的なものから微分方程式を
意識したものに変える。
（複素解析の授業がしっかり予定されているのに比して、
微分方程式の講義が見当たらなかった（？）ため。）
ChainRule についての復習。
２変数関数の２次の近似式、
２次形式の最大・最小、極大・極小の判定条件。
２次関数の定符号性との関係の説明が足りなかったので、
次回極座標による説明を追加して補う。
模型による説明も次回。
今日の極座標を使った説明は、少しくどかったかも知れない。
要点は、運が悪くなければ２次の近似式で関数の局所的な性質が
判断できること、
２次形式については、そのヘッセ行列の
固有値（極座標表示で考えた最大値および最小値）の符号で決まること。
３変数以上の場合の説明もする予定であったが、時間切れのために 省略（あとで復活できるかな？）。
あと、こういった大事な絵が描いていない教科書は失格と 口をすべらしてしまったが、私もそのような本の制作に 係わったことがあったので、天に向かって・・してしまったのかも知れない。
ぜひとも、簡単でいいから、手を動かして計算をしてみること。 （頭でわかるだけではいけません。）
ということで、次回は等高線の話。
２変数関数の２次の近似式について復習。続いて等高線の話。
最近は、コンピュータの性能の飛躍著しく、
等高線（のみならず３次元での関数のグラフ）を描画してくれるソフトウェアが
手軽に使えるようになったので、Mathematica 等で、表示させてみるといい勉強に
なろう。良いサンプル画像を作れた人は、是非講義ノートへ御寄付を。
（と書くと、使えないのがばれてしまってまずいのだが。）
しかし、講義でも強調したように、そのようなコンピュータソフトだけでは、
処理できない部分も沢山あり、やはり、数学的な基礎・手計算は大事である。
講義でやった等高線の計算例（振り子の等エネルギー曲線）、 是非とも自分の手でもう一度確認して みて欲しい。これは、試験のことを抜きにしても大事です。
振り子の例を丁寧にやりすぎたせいか、陰関数の説明までする予定が
来週になってしまった。
陰関数（の定理）も大事なのであるが、これは、
変数の数が一般的な場合に、理論的に重要なので、
２変数の陰関数だけに拘泥してもという気持ちもある。
（初めての人には、何のことかわからないかもしれないが。）
ということで、次回は等高線の続きとして陰関数、条件付き極値、 試験範囲の解説と、全部できるかどうか・・・。
等高線の正則点・特異点での様子、陰関数の存在。条件付極値。
条件付き極値におけるラグランジュの未定乗数法について説明したところで、
残り１０分になっていたので、あわてて試験の話をする。
例題（entropy の maximization）についてはまたもや次回送りとなってしまった。
やはり多かったようである。
来週は休講、１１月１２日は試験。
陰関数については、微分の公式とかが、重々しく（？）本に載っていたりするが、 覚えなくていい。（必要があれば、Chain rule を使って導き出せばよい。）
それよりは、等高線の考え方と２次近似式の関係を知る方が生産的です。
ということで、試験では、等高線を描く問題を１題、出します。
もう１題の方は、極大・極小の判定条件を使う計算とします。
こちらも、判定条件をヘッセ行列の符号の判定条件と思うのが
正しい理解の仕方です。３変数以上の場合を思えば。
予告通り、今日は、２変数関数の極大・極小、等高線についての試験。 結果等については来週以降に。
来週の予告としては他に、やり残しの entropy の maximazation をして その後でオイラーの変分法について説明の予定。
寒くなりました。風邪のご用心を。
今日は、茨苑祭の準備とやらで、授業できないのであった。
が、前回の試験の採点が終わったので、その講評を少し。
（次回の授業時にも少し話します。）
試験の成績は２階教室前の掲示板。
[1] の問題で、連立方程式を正しく解けない人が少なからずいてびっくり。 計算は大体出来ても、x = 1 の場合があるのを無視したりしてはいけません。 成績が△以下の人は、要注意。
[2] の問題では、関数 1/(1-x^2) の値の範囲がまず問題であるにも
係わらず、気まぐれ（？）で場合分けをしている人がかなりいて、
これは、印象を悪くします。
場合をきちんとわけて、図も（大体）正しく書けている人が○になるのだが、
そういった人は、約２０名、授業の出席率を考えれば、まずまずかなとも
思えるが、やはり、授業を受けていない人には辛かろうと思う。
今後ますます、本の内容から離れていく予定なので、
（新たな講義ノートの提供の予定ではあるが）、
自分で勉強して試験だけ受けようと思っている人は、要注意。
授業の残り回数を調べたところ、１２月は３回（試験１回を含む）、
１月は１回（試験１回を含む）、
という恐ろしい事態が判明した。正味、授業はあと２回である。
ということで、たびたび申し訳ないことですが、級数関係の話は一切やめにして
（複素解析学でどうぞ）、
（常）微分方程式の入り口の入り口を、
あと、２回で説明することにした。
今日は、その微分方程式の入り口の門のドアをノックする予定であったのだが、
前回の Lagrange's multipliers の復習と確率のエントロピーの maximizing
を説明していたら、残り３０分程になってしまい、
あわてて前回の試験の解説をする。
とこんどは、１０分少々、時間が余ってしまった。
風邪気味で苦しかったので、「質問」、ということにしたが、即座に出る訳も無く
もったいないことをしてしまった。
今日も、次回の試験（１２月１７日予定）に向けて貴重な情報が
入っていました。
さて微分方程式と聞いて何が連想されるかな。
かねてからの予告通り、今週と来週２回で（常）微分方程式のはなしである。 微分方程式は、数学の応用上もっとても大事な部分の一つであるが、 それだけ、内容は多岐に渡っていて、とても２回の授業で済ませられない ものではあるが、かと言って何も聞いたことがないというのは、 もっと恐ろしいことなので、さわりのさわりだけ。
今日は、典型的な微分方程式の形、として、 Logistic equation, ニュートンの運動方程式、波動方程式、拡散方程式、 シュレーディンガー方程式を挙げた上で、 常微分方程式の一般形、連立微分方程式との関係を説明。常微分方程式の解法については、個別の工夫がいろいろあるところではあるが、 そういったことは、具体的に必要になってから勉強すれば十分なので、 全て省略。
理論としては、線形方程式を線形代数がらみで説明すべきではあるが、 なにしろ時間がないのでこれも一切省略。
ということで、来週、何をするかというと、連立微分方程式の第一積分と 等高線の関係を、振り子の運動方程式と、ロトカ・ボルテラ方程式で説明して、 時間があれば、解の存在と一意性についてひとこと。
あと大事なお知らせとしては、２回目の試験を
１２月１７日に行うこと。試験範囲は、
等高線の計算
条件付極値の計算
の２題。
今日で、実質、最後の講義である。
やはり、２回で微分方程式を説明するのは無理だったようである。
前回の予告では、ベクトル場の第一積分から等高線という方針であったのだが、
やはり、解の一意性は、歴史的にみても大事だし、数学的にもいろいろと
使えるので、その説明と証明とささやかな応用とで終えることにした。
（一度、予定を変えると次々と波及して、困ったことではある。）
解の一意性の応用として、べき関数のテーラー展開を示したのだが、
内容の微妙さをわかっていただけただろうか。
通常のテーラーの定理（平均値の定理の拡張）を使おうとすると、
ひどい目にあうところを、べき級数の性質を使って微分方程式の解の話に
持ち込んだところがミソである。
解の一意性は、他にも、数列の母関数などとの関連で、しばしば、
公式を証明するのに役立つ。実用面も無視できないのである。
前回も言ったとおり、来週は試験です。
範囲は、
（１）等高線の計算と図示、
（２）条件付極大の幾何学的問題
の２つ。
授業に出ていない人、出ていても、自分で計算していない人、
ご注意あれ。
ついでに１月の予定も書いておくと、
１月１４日（金）、センター試験の準備で休講（これが痛かった）、
１月２１日（金）、３回目の試験（範囲は全部、）
１月２８日（金）、一応、試験かな。
今日は、２回目の試験であった。そして、今年最後の授業（？）でもあった。
なぜか、金曜日は休講が重なってしまい、実質の内容が少なかったのが、
気にはなるが、少数精鋭、重要なことは、多くはないので、
かえって勉強しやすかったのでは。
言い訳ついでに、授業なんかでできることは、ほんの少しで、それも
教える側のフィルターを通したものなので、授業とかにこだわらず、
「面白い」と思ったものは、どんどん、勉強したらいいです。
その意味で、必修とかはできるだけ少ないのがいいのですが、
人間、なまける動物なので、やはり「外圧」も必要（悪）かな。
ということで、１月も試験（だけ）します。 範囲は、
簡単な微分方程式（変数分離型）を解く問題
過去２回の試験範囲の総合問題
とします。
今回の試験の採点は、２４日前後を目安に終え発表の予定です。
（ささやかな、お年玉（？）と思って下さい。）
さて、来年はどうなりますやら。
どうやら２０００年問題とやらも大したことはなかったようで、 今ごろ炭とかを用意した人はどうしているのか気にしてもしようが ないですが、１月も早下旬、３回目の試験が終わりました。
採点は、土日でする予定なので来週の初めには、掲示できるでしょう。
解析学Ｉと同様、○---２点、△---１点、×---０点、で合計６点以上が合格です。
３回の試験で既に合格になっている人は、
来週予定の４回目の試験は免除です（受けても成績には影響しません）。
４回目の試験範囲は、これまでの３回の範囲全てです。
と言っては、絶望にくれる（？）人がいるといけないので、
補講もしますが、これは成績には一切関係しません。
今まで、省略に次ぐ省略をしてきた、せめてもの罪滅しのつもりです。
が、勝手なことを言わせていただきます。請うご期待（？）。
時間・場所については、追って掲示します。
遅くなりましたが、最終の成績（合否だけ）を２階廊下に掲示しました。 これを読んでいる人は、全員合格しているものと思いますが、 何かの手違いで不合格になってしまった人は、愚痴を聞いてあげますから、 研究室へどうぞ。（ただし、こちらのミスでないかぎり、変更はありえません。）
それは、ともかくとして、１年間の苦労（？）の成果があったでしょうか。 私の話は、内容には意を用いており、見えないところの工夫を心がけて いるのですが、いわゆる「授業法」の類とは正直、縁のないものなので、 最近のそういった、「技術」を駆使した授業と比べると見劣りがすることでしょう。 反省しております。
ですが、本当に大事なことは、簡単であるべきだし、 それは、各個人の思考の好みに応じて理解するのが一番とも 思っております。
勉強には、自分で考え悩まないとできない部分と、 人から説明してもらった方が効率的な部分があります。
したがって、すべてを「上手に」教わろうというだけでは、 無理が生じます。 かといって、全てを本からというのも限界があります。
授業では、その「人から説明してもらったほうが」の部分を 目指しました。それが身につくか、よい経験となるかは、 もう一つの「自分で考え悩む」作業に、どれだけ時間を費やしたかに かかっています。
といった「修身」くさい話は、苦手なのであった。 疲れているのです、聞き流して下さい。