群作用の定義と例

定義 2.1   群$G$と集合$X$に対して, 次の性質をみたす 写像 $\varphi:G\times X\rightarrow X$
が与えられたとき, 「群GはXに作用する」あるいは いい, 「$X$は$G$-空間である」と言う.

                         $(1)\ \ \varphi(e,x) = x\ \ \ \bigl(\ eはGの単位元\ \bigr)$
                         $(2)\ \ \varphi(g,\varphi(h,x)) = \varphi(gh,x) \ \ \ \bigl(\ g,h \in G\ ,\ x \in X\ \bigr)$

要素 $\varphi(g,x)$ は、普通、 $\varphi(g,x) = gx$ と略記する.

定義 2.2   群$G$の$G$自身への 作用を $\varphi(g,h)=gh$ により
定義することができる. これを$G$の$G$自身への左正則作用という.

注意 2.1   $X$を$G$-空間とし, $A$を$X$の部分集合とする. $G$の要素$g$を $A$の
すべての要素に作用させて得られる集合を$gA$と表す. すな わち

$gA=\bigl\{ga\in X\ \vert\ g\in G\ ,\ a\in A\ \bigr\}$

である.

例 2.1   $X$を$G$-空間とし, $H$を$G$の部分群と するとき, $G$-作用を$H$に制限
することにより, $X$は自然に$H$-空間となる.

定義 2.3   $G$-空間$X$において, 群$G$の要素$g$, $X$の要素$x$について,

「 $gx=x\ \Longrightarrow \ g=e$ 」

が成り立つとき, $G$は$X$に自由に$($freely$)$ 作用するという.

例 2.2   群の自分自身への左正則作用は自由作用である.

定義 2.4   $G$-空間$X$が与えられたとき, $X$における 同値関係$\sim$を次で定義する.

     $x \sim y \Longleftrightarrow y=gx$ となる群$G$の要素$g$が 存在する.

このとき、$x$を含む同値類は

$$Gx=\bigl\{gx\in X\ \vert\ g \in G\ \bigr\}$$

で与えられる.　 これを$X$の群$G\ (の作用)$による軌道$(orbit)$と 呼ぶ.

この同値関係による商集合を軌道空間 $(orbit\ space)$と呼び, 記号$G \setminus X$で表す. また、同値関係$\sim$の代表系を$G$-作用の代表系という.