証明に必要なもの

「バナッハ・タルスキーのパラドックス」の証明に使われる数学的な道具 は, 主に “集合論”と“群論”です. 特に, 証明において最も重要 なのが, 集合論における“選択公理”です.
    もちろん, 幾何学的なセンスも必要ではあるのです が, 「パラドックス」が出現する根元において, この一見当然にみえる 選択公理が本質的役割を果たします.

目次

$1$ 言葉の準備

$1.1$ 記号の準備
$1.2$ 証明する上で必要な集合論の諸概念
$1.3$ 群の定義と例

$2$ 群作用

$2.1$ 群作用の定義と例
$2.2$ 回転群と運動群

$3$ 分割合同

$3.1$ 分割合同の定義と性質
$3.2$ 分割合同の例

$4$ $G$-逆説的集合

$4.1$ $G$-逆説的集合の定義
$4.2$ $G$-逆説的集合の性質

$5$ 自由群

$5.1$ 自由群の定義
$5.2$ 自由群の逆説性

$6$ バナッハ・タルスキーの定理の証明への準備

$6.1$ 逆説的群の定義と性質
$6.2$ 逆説的群の例

$7$ 球面$S^2$の性質

$7.1$ 球面$S^2$の逆説性
$7.2$ 球面$S^2$の分割合同性

$8$ The Banach-Tarski Paradox

$8.1$ 「バナッハ・タルスキーのパラドックス」 $\bigl({基本形}\bigr)$
$8.2$ 「バナッハ・タルスキーのパラドックス」 $\bigl({一般形}\bigr)$