行列の計算

数の配列(array)と添え字(index)。 行列 (matrix) の計算

$$A = \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & ... ...s & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}$$

を $m\times n$ 型の行列と言う。 とくに、$1\times n$ 型の行列を行ベクトル (row vector)、 $m\times 1$ 型の行列を 列ベクトル (column vector)と呼ぶ。 また、$a_{ij}$ を行列 $A$ の $i$-$j$ 成分であるという言い方もする。

ここでは、行列として配列された範囲をはっきりさせるために 丸括弧を使ったが、角括弧を使う人も多い。 区切りさえわかれば何を使ってもいいし、紛らわしくなければ括弧で括る 必要もない。ただし、縦線で区切ることは普通しない。 後で出てくる行列式の記号と区別つかなくなって困るので。

• 和 (addition) とスカラー倍（scalar multiplication）。 行列の和は縦横のサイズが一致するときだけ意味をもつ。
• 積 (product) は、 $m\times n$ 行列 $A = (a_{ij})_{1\leq i\leq m, 1\leq j \leq n}$ と $n\times l$ 行列 $B = (b_{jk})_{1\leq j \leq n, 1\leq k \leq l}$ に対して
  $$C = AB,\quad c_{ik} = \sum_{j} a_{ij}b_{jk}$$
  で定義される $m\times l$ 行列である。

縦割と横割を使うと、行列の積が

$$(a_1,\dots,a_n) \begin{pmatrix} b_1\\ \vdots\\ b_n \end{pmatrix}= \sum_{j=1}^n a_j b_j$$

の配列で構成されることに注意。

問 2   行列の計算を色々と実行してみよう。

命題 1.1   行列の和と積に関して、

1. 行列の和に関して、結合法則 (associativity law) と 交換法則 (commutativity law) が成り立つ。
2. 行列の積に関して結合法則が成り立つが交換法則は（一般には）成り立たない。
3. 行列の和と積に関して、分配法則 (distribution law) が成り立つ。

• 積の結合法則の証明で、
  $$\sum_{j=1}^m \sum_{k=1}^n = \sum_{k=1}^n \sum_{j=1}^m$$
  といった等式が必要になる。 これを納得するには、和の記号の $$\sum_{1 \leq j, k \leq n}$$ といった使い方についてを理解しておく必要がある。 （２重積分と繰り返し積分の関係。）
• 単位行列 (unit matrix) を記号 $I_n$ で表す。 単位行列の $i$-$j$ 成分を $\delta_{ij}$ という記号で表す。 これをクロネッカーのデルタ記号 (Kronecker's delta)という。 すなわち、
  $$\delta_{ij} = \begin{cases} 1 &\text{if $i=j$,}\\ 0 &\text{otherwise.} \end{cases}$$

問 3   次の２つの行列（ベクトル）の積を計算し、その結果を比較せよ。

$$\begin{pmatrix} a & b & c \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a\\ b\\ ... ...n{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b & c \end{pmatrix}\ .$$

問 4   上の計算練習に関連して、

$$\begin{pmatrix} a & b & c \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a\\ b\\ ... ...begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b & c \end{pmatrix}$$

などという式を書いてはいけない。 何故か。