授業の展望

高校ではベクトルという考えを学んだ（はずである）。 ベクトルは単に幾何学的な問題を解く上で役に立つだけではなく、 現実の様々な数理現象を表現する際にも必要不可欠な概念である。 一つ具体例を挙げると、物理でいうところの力は、 空間的な（＝３次元的な）ベクトルとして捉えることができる。 他に平面に限定された（２次元的）ベクトルが視覚的にもわかり易く こちらは、平面の位置ベクトルとしてお馴染みの通りである。 いずれにしてもベクトルの本質的な性質は、 ベクトルどうしの和およびベクトルの定数倍が定義できて、 いくつかの代数的な計算規則が成り立つことである。

ベクトルは、一方でまた、成分を使って ${\overrightarrow v}= (a,b)$ といった表し方が可能で、 ベクトルの距離的な情報である内積は、

$$({\overrightarrow v}\vert{\overrightarrow v}') = aa' + bb', \qquad {\overrightarrow v}' = (a',b')$$

という成分表示が可能である。

これを拡張してしていくために、以下ではベクトルを表すのに、 その成分を縦に並べた

$$\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}$$

という表示も使うことにして、これを縦ベクトルと呼び、 従来の横に並べた横ベクトルと区別することにする。 そして、横ベクトルと縦ベクトルの積を

$$\begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a'\\ b' \end{pmatrix}= aa' + bb'$$

により定義する。これが内積の一つの解釈法である。

さて、ベクトルは数の１次元的配列でもあったが、数の２次元的配列を 行列と呼ぶ。例えば、４つの数（スカラー）を２行２列に

$$\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}$$

と配列して括弧で括ったものを２次の正方行列と呼ぶ。 これは、

$$\begin{pmatrix} a\\ c \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} b\\ d \end{pmatrix}$$

という２つの縦ベクトルを横に並べたもの、あるいは

$$\begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} c & d \end{pmatrix}$$

という２つの横ベクトルを縦に並べたものと見ることもできる。 この２種類の見方を適宜使い分けて、行列と縦ベクトルあるいは横ベクトルの 積を

$$\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ ... ...& b\\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax + cy & bx + dy \end{pmatrix}$$

によって定める。

この計算規則をさらに押し進めれば、行列どうしの積の定義

$$\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a' &... ...pmatrix}= \begin{pmatrix} aa'+bc' & ab'+bd'\\ ca'+dc' & cb'+dd' \end{pmatrix}$$

に到達する。

一方行列どうしの和およびスカラー倍は、ベクトルのそれに倣って、

$$\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} a... ...& b\\ c & d \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} ta & tb\\ tc & td \end{pmatrix}$$

ということにすれば、行列あるいはベクトルの積と和に関して、 結合法則、分配法則が成り立つ。

和に関して零に相当する行列あるいはベクトルは、

$$\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix}$$

の形のものでそれぞれ零行列、零ベクトルと呼ばれる。 （ただし、表す記号は数の 0 と同じものを流用することにする。）

積に関して１に相当する行列は、

$$I = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

であり、単位行列と呼ばれる。

行列の積に関して、行列 $A$ の逆数に相当するのは、

$$A^{-1}A = I = AA^{-1}$$

となる行列 $A^{-1}$ であり、$A$ の逆行列と称する。 行列においては、数の場合と違って、 零行列と逆行列をもつ行列の間には大きなギャップがある。 実際、行列 $A$ の行列式 $\vert A\vert$ を（行列 $A$ を表示する際の括弧を 適宜省いて）

$$\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$$

で定義すれば、

   $A^{-1}$ がある$$\iff \vert A\vert \not= 0$$

であり、このとき逆行列の公式

$$A^{-1} = \frac{1}{\vert A\vert} \begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix}$$

が成り立つ。

行列とベクトルの積を、ベクトルから新たなベクトルを作り出す操作と 思えば、ベクトルを角度 $\theta$ だけ回転させる操作は行列

$$R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$$

を左から掛けることによって実現される。その意味で、この行列を （角度 $\theta$ の）回転行列と称する。 三角関数の加法定理は、回転行列の積の公式

$$R(\theta) R(\theta') = R(\theta + \theta')$$

に他ならない。

こういった、行列の掛け算に関して行列の構造を調べる上で基本的な 考え方が行列の対角化である。 例えば、

$$A = \begin{pmatrix} a & b\\ b & c \end{pmatrix}$$

という実対称行列は回転行列 $R(\theta)$ の角度 $\theta$ を適当にとれば、

$$R(\theta)^{-1} A R(\theta) = \begin{pmatrix} \alpha & 0\\ 0 & \beta \end{pmatrix}$$

の形の対角行列に直すことができる。 （$\alpha$, $\beta$ を行列 $A$ の固有値と称する。） 実際左辺を計算すれば、

$$\begin{pmatrix} a' & b'\\ b' & c' \end{pmatrix}, \qquad b' = b \cos 2\theta + \frac{c-a}{2} \sin 2\theta$$

となるので、$b'=0$ であるように $\theta$ を選べばよい。

行列 $A$ の対角化は、$A$ のべき乗の計算を容易にするだけでなく、

$$f(x,y) = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}A \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = ax^2 + 2bxy + cy^2$$

という、いわゆる２次形式の最大最小問題の分析をする上でも重要である。 例えば、関数 $f(x,y)$ が最小値をもつための必要十分条件は $\alpha \geq 0$ かつ $\beta \geq 0$ となることである、等。

以上のべた２行２列の場合の計算を一般のサイズの 行列においても実行してみようという のがこの授業の趣旨である。

問 1    

1. 回転の行列の関係式 $R(\theta) R(\theta') = R(\theta+\theta')$ が三角関数の加法定理と同等であることを示せ。
2. 対称行列を対角化するための回転行列の回転角が満たすべき関係式を 求めよ。