行列式を計算する際のポイントとしては、 系 3.2 の性質を使って、行列式の成分として現れる量をできるだけ簡単なもの に書き直していく、とくに特定の行または列にできるだけ多くの 0 が含まれる ようにして、その行または列に関する展開式を適用して、行列式のサイズが 小さいものに還元していくことである。

具体例として、

$\displaystyle \begin{vmatrix} 3 & 1 & 4 & 1\\ 5 & 9 & 2 & 6\\ 5 & 3 & 5 & 8\\ 9 & 7 & 9 & 3 \end{vmatrix}$

の計算を考えてみよう。

まず最初に、（帰納的）定義を直接当てはめるとどうなるかを見てみると、

$\displaystyle \begin{vmatrix} 3 & 1 & 4 & 1\\ 5 & 9 & 2 & 6\\ 5 & 3 & 5 & 8\\ 9 & 7 & 9 & 3 \end{vmatrix}$ $\displaystyle = 3 \begin{vmatrix}9 & 2 & 6\\ 3 & 5 & 8\\ 7 & 9 & 3 \end{vmatrix... ... \end{vmatrix} - \begin{vmatrix}5 & 9 & 2\\ 5 & 3 & 5\\ 9 & 7 & 9 \end{vmatrix}$    
  $\displaystyle = 3\left( 9 \begin{vmatrix}5 & 8\\ 9 & 3 \end{vmatrix} - 3 \begin... ... 8\\ 7 & 3 \end{vmatrix} + 6 \begin{vmatrix}3 & 5\\ 7 & 9 \end{vmatrix} \right)$    
  $\displaystyle \quad- \left( 5 \begin{vmatrix}5 & 8\\ 9 & 3 \end{vmatrix} - 2 \b... ... 8\\ 9 & 3 \end{vmatrix} + 6 \begin{vmatrix}5 & 5\\ 9 & 9 \end{vmatrix} \right)$    
  $\displaystyle \quad+ 4\left( 5 \begin{vmatrix}3 & 8\\ 7 & 3 \end{vmatrix} - 9 \... ... 8\\ 9 & 3 \end{vmatrix} + 6 \begin{vmatrix}5 & 3\\ 9 & 7 \end{vmatrix} \right)$    
  $\displaystyle \quad- \left( 5 \begin{vmatrix}3 & 5\\ 7 & 9 \end{vmatrix} - 9 \b... ... 5\\ 9 & 9 \end{vmatrix} + 2 \begin{vmatrix}5 & 3\\ 9 & 7 \end{vmatrix} \right)$    

といった具合に項の数が増え収拾がつかなくなる。

そこで、工夫した方法としては、

$\displaystyle \begin{vmatrix} 3 & 1 & 4 & 1\\ 5 & 9 & 2 & 6\\ 5 & 3 & 5 & 8\\... ...3 & 1 & 1 & 1\\ 5 & 9 & -3 & 6\\ 5 & 3 & 0 & 8\\ 9 & 7 & 0 & 3 \end{vmatrix}$

のように数値を簡単にして、 さらに、１行目の３倍を３行目に加えると、

$\displaystyle \begin{vmatrix} 3 & 1 & 1 & 1\\ 5 & 9 & -3 & 6\\ 5 & 3 & 0 & 8\... ... & 1 & 1 & 1\\ 14 & 12 & 0 & 9\\ 5 & 3 & 0 & 8\\ 9 & 7 & 0 & 3 \end{vmatrix}$

となるので、 １行目に関する展開式を使うと、

$\displaystyle \begin{vmatrix} 3 & 1 & 1 & 1\\ 14 & 12 & 0 & 9\\ 5 & 3 & 0 & 8... ...d{vmatrix}= \begin{vmatrix} 14 & 12 & 9\\ 5 & 3 & 8\\ 9 & 7 &3 \end{vmatrix}$

のように項数を増やさずに、行列式の計算をサイズの小さいものに 還元できた。 同様の工夫を上で得られた３次の行列式にも施すと、

$\displaystyle \begin{vmatrix}14 & 12 & 9\\ 5 & 3 & 8\\ 9 & 7 &3 \end{vmatrix}$ $\displaystyle = \begin{vmatrix}2 & 12 & 9\\ 2 & 3 & 8\\ 2 & 7 &3 \end{vmatrix}$   （１列目から２列目を引いた）    
  $\displaystyle = 2 \begin{vmatrix}1 & 12 & 9\\ 1 & 3 & 8\\ 1 & 7 &3 \end{vmatrix}$   （１列目から $ 2$ をくくり出した）    
  $\displaystyle = 2 \begin{vmatrix}0 & 9 & 1\\ 1 & 3 & 8\\ 0 & 4 & -5 \end{vmatrix}$   （１行目・３行目からから２行目を引いた）    
  $\displaystyle = -2 \begin{vmatrix}9 & 1\\ 4 & -5 \end{vmatrix}$   （１列目について展開）    
  $\displaystyle = -2(-45-4) = 98$   （最後は、たすき掛け）    

と計算できる。
Yamagami Shigeru 平成14年12月30日